gvk 
Модератор
|
    
Долго думал начинать или не начинать эту тему и наконец решился. Причина следующая. На данном форуме и форуме RU.board появилось очень много справочных книг с таблицами интегралов, рядов и специальных функций. Важность этих книг для современной науки и техники трудно переоценить. Процитирую одного из самых уважаемых современных математиков - Майкала Берри:
” ... Several years ago I was invited to contemplate being marooned on the proverbial desert island.What book would I most wish to have there, in addition to the Bible and the complete works of Shakespeare? My immediate answer was: Abramowitz and Stegun’s Handbook of Mathematical Functions. If I could substitute for the Bible, I would choose Gradsteyn and Ryzhik’s Table of Integrals, Series and Products. Сompounding the impiety, I would give up Shakespeare in favor of Prudnikov, Brychkov and Marichev’s of Integrals and Series
... On the island, there would be much time to think about waves on the water that carve ridges on the sand beneath and focus sunlight there; shapes of clouds; subtle tints in the sky... With the arrogance that keeps us theorists going, I harbor the delusion that it would be not too dificult to guess the underlying physics and formulate the governing equations. It is when contemplating how to solve these equations - to convert formulations into explanations - that humility sets in. Then, compendia of formulas become indispensable.”
Michael Berry, ”Why are special functions special?”, Physics Today, April 2001.
Не умоляя значение этих книг в прошлом, сразу должен сказать, у этих книг нет будущего. Хотя это звучит парадоксально, однако для этого есть достаточно веские основания. Причина - в современном развитии программ аналитических (символьных) вычислений CAS - Computer Algebra Systems. На мой взгляд, одна из лучших CAS это Maple. Стоимость этой программы не велика, примерно стоимость средней книги, $120-130, но она одна на %90 - 95 заменяет такие справочники как Абрамовец и Стеган, Градштейн и Рыжик, Корн-Корн,
Бейтман и Эрдейли, Двайт, Камке и т.д. вместе взятые.
Перефразируя Берри, я бы сказал так: человеку с пытливым умом, оказавщемуся на необитаемом острове c электричеством  , вместо Abramowitz and Stegun "Handbook of Mathematical
Functions" лучше иметь маленький laptop и единственной программой - Maple.
Как эта программа сейчас заменяет справочники по математике и физике и будет заменять их в будушем и предлагаю обсудить в этой теме.
Тот кто знаком с Maple, пишите как вы используете ее для своих задач, в какой степени эта программа помогает вам. Мы здесь также попробуем обсудить проблемы Maple и подобных CAS а так-же литературу связанную с ними (статьи, книги и программы).
|
Всего сообщений: 835 | Присоединился: октябрь 2003 | Отправлено: 28 фев. 2004 20:02 | IP
|
|
Alexeyy
Новичок
|
Нужна программка на Maple по решению стохастического уравнения Щредингера (со случайным потенциалом).
Ни у кого нет на примете?
|
Всего сообщений: 1 | Присоединился: декабрь 2010 | Отправлено: 1 марта 2004 22:59 | IP
|
|
gvk
Модератор
|
--------------------------------------------------------------------------------
Цитата: Alexeyy написал 1 марта 2004 22:59
Нужна программка на Maple по решению стохастического уравнения Щредингера (со случайным потенциалом).
Ни у кого нет на примете?
--------------------------------------------------------------------------------
Как это уравнение выглядит и какое надо решение: численное или аналитическое?
Если первое, то лучше использовать MATLAB. Если аналитическое, то можно попробовать с Maple - хотя все зависит от вида уравнения. Похожие задачи, например в теории переноса, решаются путем рассмотрения рассеяния на детерминированном потенциале, а затем решение усредняется по ансамблю всех возможных реализаций этого потенциала. Существуют и много других подходов (даже в самой квантовой механике, например, уравнение Томаса-Ферми с самосогласованным потенциалом - пример стохастического уравнения- кстати оно легко решается в Maple). Но в любом случае использовать Maple можно тогда, когда у вас есть явное дифф. уравнение. Надо отметить, что хотя символьный пакет ODE и PDE в Maple значительно лучше чем в любой другой CAS, он решает примерно 93-95% уравнений которые вы можете найти в в справочнике Камке.
(Сообщение отредактировал gvk 3 марта 2004 3:40)
|
Всего сообщений: 835 | Присоединился: октябрь 2003 | Отправлено: 2 марта 2004 2:27 | IP
|
|
VF
Administrator
|
 
Думаю, все эти справочники еще довольно долго будут пользоваться популярностью. По крайней мере до тех пор, пока нужные математические программы не будут работать на налодонникам и других устройствах, меньших, чем ноутбук. А сами устройства не станут более распространенными. Программам есть куда стремиться - до полной замены справочников еще не хватает нескольких процентов уравнение и интегралов, которые они пока не могут решить.
Кстати, некоторые до сих пор ищут электронные версии таблиц Брадиса! Вот уж чего я никак понять не могу... Калькулятор давно обошел их по всем пунктам. Если какой-то преподаватель заставляет учеников работать именно с таблицами, то этого "учителя" нужно отправить на свалку истории. Понимаю, когда учат считать в столбик - эти навыки работы с числами очень полезны, особенно для программистов. Но тут - просто глупый поиск. И самое удивительное, когда эти таблицы спрашивают в Интернете, ведь у ищущих уже есть доступ к компьютеру.
Для справки - таблицы Брадиса не такие уж древние - они появились в 1921 г.
|
Всего сообщений: 3110 | Присоединился: май 2002 | Отправлено: 2 марта 2004 15:19 | IP
|
|
gvk
Модератор
|
Еще одно важное замечание. CAS позволяет легко делать вещи, которые не найти ни в каком справочнике и не вычислить на калькуляторе. Это связано с символьностью вычислений. Например, Maple позволяет получить иррациональное число с любой, наперед заданной точностью. Простая команда ниже дает число Pi с точностью 100 знаков:
evalf(Pi,100);
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459\
2307816406286208998628034825342117068
По этой причине любые числовые таблицы (sin, cos, log, special functions и тд) можно получить с точностью заведомо превышающей точность аналогичных таблиц в справочниках. Здась уже CAS становятся не заменимой.
|
Всего сообщений: 835 | Присоединился: октябрь 2003 | Отправлено: 2 марта 2004 19:12 | IP
|
|
Alexeyy
Новичок
|
Как это уравнение выглядит и какое надо решение: численное или аналитическое?
И численно и аналитически пойдёт. Но аналитического решения вроде бы не известно ("Весь" интернет вдоль и поперёк просмотрел по этому поводу. "Наши" корефеи стохастики, например Кляцкин, тоже не знает такого решения). Поэтому склонен остановиться на численном решении.
Сформулировал уравнение здесь:
внешняя ссылка удалена
Нужно найти среднее значение квдрата модуля решения этого уравнения.
Однако это уравнение эквивалентно стохастическому уравнению Шредингера. Соответствующую задачу сформулирповал здесь:
внешняя ссылка удалена
В отличае от первого случая там нужно найти не среднюю по флуктуациям матрицу плотности, а среднюю по флуктациям дисперсию координаты частицы.
Если первое, то лучше использовать MATLAB.
Согласен с Вами. Но я относительно неплохо знаком с Maple. И переспектива изучения матлаба меня отпугивает. К тому же хэлп в матлабе не идет ни в какое сравнение с мэйпловским.
Да к тому же если решать стохастическое уравнение, то надо будет писать программу от и до заново: пакетами не воспользуешься. Т.к. ни в мэйпле ни в матлабе нет пакетов, численно решаюих стохастические уравнения в частных производных (Там с не стохастическими уравнениями не очень то "густо").
Нашол в интернете специальный пакет, предназначенный для решения стохастических уравнений в частных производных довольно общего вида: внешняя ссылка удалена
Однако он относительно специализированный. И забросил попытки в нём разобраться.
Есть небольшая надежа на то, что существуют соответствующие готовые программкит в мэйпле. Так что в них будет полегче разбираться чем вышеприводимом пакете.
Впрочем если где-то есть готовая програама по решению упомянутого стохастического уравнения на матлабе - я буду только рад.
Если аналитическое, то можно попробовать с Maple - хотя все зависит от вида уравнения.
Да нет, стохаститческое уравнение в том смысле как мне нужно - невозможно получить аналетически с помощью существующих программ (пакетов).
Под стохастическим уравнением Шредингера имеется в виду, что его потенциал зависит от времени случайным образом. Численно можно решать это уравнение для разных вареантов этой случайной зависимости. А потом множество численных решений - усреднить. Аналетически эту процедуру проделать (на современных пакетах) невозможно (ещё даже полной теории не построено этого дела).
Похожие задачи, например в теории переноса, решаются путем рассмотрения рассеяния на детерминированном потенциале, а затем решение усредняется по ансамблю всех возможных реализаций этого потенциала.
Наверно Вы же поняли о чём идет речь: именно такую готовую программку и ищу. Хотя, может-быть можно и самому было бы написать. Но пока поиски соответствующего чёткого алгоритма у меня увенчались нецспехом.
Существуют и много других подходов (даже в самой квантовой механике, например, уравнение Томаса-Ферми с самосогласованным потенциалом - пример стохастического уравнения- кстати оно легко решается в Maple).
Видимо у нас идёт путаница 2-х смыслов понимания стохастичности. В моей терминологии уравнение Шредингера (в частном случае - и уравнение Томоса - Ферми) вообще говоря - не стохастическое. Стохастичность "появляется" лишь когда потенциал "сделать" случайным.
Расставил теги цитирования в нужных местах. В следующий раз будьте внимательней и не создавайте сообщение в виде одной цитаты
|
Всего сообщений: 1 | Присоединился: декабрь 2010 | Отправлено: 2 марта 2004 21:54 | IP
|
|
gvk
Модератор
|
Цитата: Alexeyy написал 3 марта 2004 6:54
Наверно Вы же поняли о чём идет речь: именно такую готовую программку и ищу. Хотя, может-быть можно и самому было бы написать. Но пока поиски соответствующего чёткого алгоритма у меня увенчались нецспехом.
Существуют и много других подходов (даже в самой квантовой механике, например, уравнение Томаса-Ферми с самосогласованным потенциалом - пример стохастического уравнения- кстати оно легко решается в Maple).
Видимо у нас идёт путаница 2-х смыслов понимания стохастичности. В моей терминологии уравнение Шредингера (в частном случае - и уравнение Томоса -Ферми) вообще говоря - не стохастическое. Стохастичность "появляется" лишь когда потенциал "сделать" случайным.
Пожалуйста поясните более подробно, что вы подразумеваете под термином "случайный" потенциал, откуда он в реальных экспериментах и в реальных задачах появляется. В ваших ссылках совершенно не ясно происхождение плотности вероятности по которой происходит усреднение.
Какова ваша физическая задача?
Если вы четко сформулируете истоки происхождения "случайности" потенциала в уравнении Шреденгера, то поймете почему уравнение Томаса-Ферми также является "стохастическим".
Несогласен, что в статистической радиофизике нет точных решений. Посмотрите Рытов Кравцов Татарский Введение в стат. радиофизику, часть2 Случайные поля. Там есть несколько точных решений для параболического уравнения и вообще рассматриваются разные приближения волнового уравнения (аналог ур. Шредингера) для случайных полей.
|
Всего сообщений: 835 | Присоединился: октябрь 2003 | Отправлено: 3 марта 2004 19:31 | IP
|
|
Alexeyy
Новичок
|
Пожалуйста поясните более подробно, что вы подразумеваете под термином "случайный" потенциал, откуда он в реальных экспериментах и в реальных задачах появляется. В ваших ссылках совершенно не ясно происхождение плотности вероятности по которой происходит усреднение.
Какова ваша физическая задача?
Квантовая частица находится в бесконечном пространстве. И на неё действуют какие-то случайные поля. Начальное сотояние частицы - волновой пакет. Мне нужно доказать или опровергнуть, что при стремлении к бесконечности вреени волновой пакет не будет расплываться на бесконечность (Т.е. внутри него плотность вероятности не будет стремиться к нулю). Предполагаю, что он придёт в такое сотояние, что будет колебаться около некоторого своего среднего профиля. При этом цент волнового пакета будет случайно "скакать" (как броуновская частица). Мне требуется выяснить действительно ли при некотором уровне шума в потенциалле расплываться пакет не будет? (Шум предполагается гаусовым, дельто-коррелированным по пространству и времени).
Кретерием же нерассплывания является то, что средняя дисперсия координаты при стремленни времени к бесконечности не будет стремиться к бесконечности.
Иначе говоря физическая постановка задачи состоит в том, чтобы доказать или опровергнуть, что нечто вроеде солитона пролучится и для уравнения Шредингера. Но для этого нужно "привлечь" случайный "шум".
(Я с Вами согласен, что принципиально можно получить аналетическое решение стохастического уравнения.)
Т.к. в аналетических исследованиях обячно не ставят задачу найти среднее по флуктуация значение дисперосии координаты. А ищят либо среднее решение, либо среднее квадрата модуля решения, то я свёл вышеприведённую задачу к нахождению среднего не от дисперсии, а от квадрата модуля решения Шредингероподобного уравнения. Точный вид этого уранения приведён здесь: внешняя ссылка удалена
Так что если Вы чем-то можете мне помочь, то есть 2 пути:
1. Найти средний (по флуктуациям потенциалла) квадрат подуля решения приводимого в ссылке шреденгероподобного уравнения
2. Найти средннюю по флуктуациям потенциалла диссперсию координаты квантовой чатицы
В обоих случаях годится и аналетическое и численное решение.
|
Всего сообщений: 1 | Присоединился: декабрь 2010 | Отправлено: 4 марта 2004 0:01 | IP
|
|
gvk
Модератор
|
Цитата: Alexeyy написал 4 марта 2004 9:01
Квантовая частица находится в бесконечном пространстве. И на неё действуют какие-то случайные поля. Начальное сотояние частицы - волновой пакет. Мне нужно доказать или опровергнуть, что при стремлении к бесконечности вреени волновой пакет не будет расплываться на бесконечность (Т.е. внутри него плотность вероятности не будет стремиться к нулю). Предполагаю, что он придёт в такое сотояние, что будет колебаться около некоторого своего среднего профиля. При этом цент волнового пакета будет случайно "скакать" (как броуновская частица). Мне требуется выяснить действительно ли при некотором уровне шума в потенциалле расплываться пакет не будет? (Шум предполагается гаусовым, дельто-коррелированным по пространству и времени).
Кретерием же нерассплывания является то, что средняя дисперсия координаты при стремленни времени к бесконечности не будет стремиться к бесконечности.
Иначе говоря физическая постановка задачи состоит в том, чтобы доказать или опровергнуть, что нечто вроеде солитона пролучится и для уравнения Шредингера. Но для этого нужно "привлечь" случайный "шум".
А какое будет решение начальной задачи о волновом пакете в детерминированном потенциале? Далее применить теорию возмущений предполагая что шумы малы.
По-моему с этого вам надо начинать. Искать готовую программу в Марle думаю - нерационально. Maple это не С или ассемблер. Программы там очень компактные.
(Сообщение отредактировал gvk 7 марта 2004 3:07)
|
Всего сообщений: 835 | Присоединился: октябрь 2003 | Отправлено: 6 марта 2004 18:03 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
>одна из лучших CAS
к вопросу о лучших CAS, ниукого нет reduce 3.7 или выше
черканите ответ umzond @mail.ru
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 11 марта 2004 13:17 | IP
|
|
|
Форум
Физика и Математика с Maple
