Guest
Новичок
|
   
Всем доброго дня!
Есть квадратных трехчлен X^2 + B*X + C,
B и C - целые, положительные числа.
При каком X, значение выражения равно квадрату целого числа?
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 19 окт. 2006 16:14 | IP
|
|
amigo
Начинающий
|
Как я понял, х может принимать лишь целые значения.
В этом случае не при всяких значениях величин В и С может найтись число х удовлетворяющее нашей задаче.
Контрпример: х^2+2х+3<>у^2 (не равно) ни при каком целом
значении х, квадрату какого либо целого числа.
Можно утверждать,что если С=(B/2)^2, то при любом
целом значении х величина стоящая слева будет давать
квадрат какого либо целого числа.
Если же в задаче рассматриваются и вещественные значения, то задача тревиальна.
|
Всего сообщений: 54 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 19 окт. 2006 21:52 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Да, x - целое.
Да, не при всех B и С может найтись такой Х.
А если С<>(B/2)^2, тогда как?
Существует ли (!) тогда алгоритм поиска X кроме полного перебора?
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 20 окт. 2006 9:55 | IP
|
|
amigo
Начинающий
|
Тогда решений нет.
Заметим, что наша задача решается лишь в тех случаях,
когда выражение слева является ПОЛНЫМ квадратом.
(иначе, сама формулировка говорит- "не полный квадрат",
-это конечно не аргумент, но можно строго доказать,
что величина слева даёт квадрат какого либо числа,
лишь если х нецелое, это делается путём оценки
(x+d)^2<y^2<=(x+d+1)^2 )
Из уравнения видно, что у>x, значит существует p:
y=x+p; следовательно x^2+Bx+C=x^2+2xp+p^2 и
Bx+C=2xp+p^2; отсюда видно, что выражение слева
образует полный квадрат, если B=2p, C=p^2
|
Всего сообщений: 54 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 20 окт. 2006 11:11 | IP
|
|
Trushkov
Долгожитель
|
 
Поставим задачу так. При каких натуральных x многочлен x^2+bx+c является квадратом целого числа, если b и c - целые.
Полный перебор делать, конечно, не надо. Достаточно оценить, между каким квадратами лежит наш многочлен.
Пример 1. Выражение x^2+2x+3 не является полным квадратом ни при каком натуральном x.
Действительно, x^2+2x+1<x^2+2x+3<x^2+4x+4,
т.е. при всех x выражение лежит между двумя последовательными квадратами.
Пример 2.
Рассмотрим выражение x^2+2x+17
Заметим, что
x^2+2x+1<x^2+2x+17<x^2+4x+4, если x>7.
Переберем все x от 1 до 7. Если есть полные квадраты, то они соответствуют какому-то из этих значений...
(Сообщение отредактировал Trushkov 20 окт. 2006 11:21)
|
Всего сообщений: 273 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 20 окт. 2006 11:20 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
2 amigo
X^2+20*x+5 - неполный квадрат, однако при х=2,
2^2+40+5 = 49 = 7^2
2 Trushkov
Спасибо, жаль только, что нельзя полностью избавиться от перебора значений (даже из определенного интервала).
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 20 окт. 2006 15:00 | IP
|
|
VF 
Administrator
|
В дальнейшем подобные вопросы в тему Уравнения.
|
Всего сообщений: 3110 | Присоединился: май 2002 | Отправлено: 23 окт. 2006 11:14 | IP
|
|
|
Форум
Квадратные уравнения
