Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        Квадратные уравнения
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Одна страница
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

Guest



Новичок

Всем доброго дня!

Есть квадратных трехчлен X^2 + B*X + C,
B и C - целые, положительные числа.
При каком X, значение выражения равно квадрату целого числа?

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 19 окт. 2006 16:14 | IP
amigo


Начинающий

Как я понял, х может принимать лишь целые значения.
В этом случае не при всяких значениях величин В и С может найтись число х удовлетворяющее нашей задаче.
Контрпример: х^2+2х+3<>у^2 (не равно) ни при каком целом
значении х, квадрату какого либо целого числа.

Можно утверждать,что если С=(B/2)^2, то при любом
целом значении х величина стоящая слева будет давать
квадрат какого либо целого числа.



Если  же в задаче рассматриваются и вещественные значения, то задача тревиальна.

Всего сообщений: 54 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 19 окт. 2006 21:52 | IP
Guest



Новичок

Да, x - целое.
Да,  не при всех B и С может найтись такой Х.
А если С<>(B/2)^2, тогда как?
Существует ли (!) тогда алгоритм поиска X кроме полного перебора?

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 20 окт. 2006 9:55 | IP
amigo


Начинающий

Тогда решений нет.

Заметим, что наша задача решается лишь в тех случаях,
когда выражение слева является ПОЛНЫМ квадратом.
(иначе, сама формулировка говорит- "не полный квадрат",
-это конечно не аргумент, но можно строго доказать,
что величина слева даёт квадрат какого  либо числа,
лишь если х нецелое, это делается путём оценки
(x+d)^2<y^2<=(x+d+1)^2 )

Из уравнения видно, что у>x, значит существует p:
y=x+p; следовательно x^2+Bx+C=x^2+2xp+p^2 и
Bx+C=2xp+p^2; отсюда видно, что выражение слева
образует полный квадрат,  если B=2p, C=p^2



Всего сообщений: 54 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 20 окт. 2006 11:11 | IP
Trushkov


Долгожитель

Поставим задачу так. При каких натуральных x многочлен x^2+bx+c является квадратом целого числа, если b и c - целые.

Полный перебор делать, конечно, не надо. Достаточно оценить, между каким квадратами лежит наш многочлен.

Пример 1. Выражение x^2+2x+3 не является полным квадратом ни при каком натуральном x.
Действительно, x^2+2x+1<x^2+2x+3<x^2+4x+4,
т.е. при всех x выражение лежит между двумя последовательными квадратами.

Пример 2.
Рассмотрим выражение x^2+2x+17
Заметим, что
x^2+2x+1<x^2+2x+17<x^2+4x+4, если x>7.
Переберем все x от 1 до 7. Если есть полные квадраты, то они соответствуют какому-то из этих значений...


(Сообщение отредактировал Trushkov 20 окт. 2006 11:21)

Всего сообщений: 273 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 20 окт. 2006 11:20 | IP
Guest



Новичок

2 amigo

X^2+20*x+5 - неполный квадрат, однако при х=2,
2^2+40+5 = 49 = 7^2

2 Trushkov

Спасибо, жаль только, что нельзя полностью избавиться от перебора значений (даже из определенного интервала).

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 20 окт. 2006 15:00 | IP
VF



Administrator

В дальнейшем подобные вопросы в тему Уравнения.

Всего сообщений: 3109 | Присоединился: май 2002 | Отправлено: 23 окт. 2006 11:14 | IP

Эта тема закрыта, новые ответы не принимаются

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Одна страница

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com