passenger
Удален
|
    
Вот такая интересная задачка:
Рассомтрим гармонический ряд 1+1/2+1/3+... Он, как известно, расходящийся. Нужно доказать, что если оставить только члены, не содержащие в десятичной записи знаменателя цифры 9, то такой ряд будет сходиться. Также было бы неплохо оценить сумму этого ряда сверху каким-нибудь числом. (насколько я знаю, эта задачка была опубликована в каком-то журнале в 1914 г.)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 8 окт. 2005 16:09 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
У меня получилось точно обратное утверждение:
Е(An)-сумма
k' - число, содержащее 9 в десятичной записи
k'' - число, несодержащее 9 в десятичной записи
Рассмотрим сумму : 1+1/9 + 1/19 + 1/29 +... + 1/99 + /109+... (*)
(знаменатель представляет собой число, заканчивающиеся 9-й) :
1/9 + 1/19 + 1/29 +... + 1/99 + /109+... >1/10 + 1/20+1/30+...+1/100+...=(1/10)*(1+1/2+1/3+...) .
Т.е. ряд (*) расходится.Oн предстaвляет сoбoй "часть" ряда Е(1/k') => 1/9 + 1/19 + 1/29 +... + 1/99 + /109+... < Е(1/k') и => ряд Е(1/k') расходится
Почленным сравнением рядов Е(1/k') и E(1/k" ) убеждаемся,что
Е(1/k') < E(1/k" ) => и ряд Е(1/k" ) расходится.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 9 окт. 2005 19:42 | IP
|
|
dm
Удален
|
Genrih
Почленным сравнением рядов Е(1/k') и E(1/k" ) убеждаемся,что Е(1/k') < E(1/k" )
Этот вывод выглядит подозрительно. 
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 9 окт. 2005 20:20 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
E(1/k')=1/9+1/19+1/29+...+1/90+1/91+...+1/99+1/109+1/119
E(1/k" )=1+1/2 + 1/3+ ... + 1/10 +1/11+...+1/19+1/20+1/21+...
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 9 окт. 2005 20:33 | IP
|
|
dm
Удален
|
Ну и что?  Для начального куска да, а потом?
внешняя ссылка удалена
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 9 окт. 2005 20:43 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Мммда! Я не могу в ето поверить
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 9 окт. 2005 21:11 | IP
|
|
gvk 
Модератор
|
dm
Кажется Genrih прав. Если у вас есть знакопостоянный 'ряд' (series) и есть 'подряд' (subseries) составленный из членов ряда, и если 'подряд' расходится, то ряд уж точно расходится.
Автор наверно имел ввиду не
"если оставить только члены, не содержащие в десятичной записи знаменателя цифры 9,"
а
"если оставить только члены, не содержащие в десятичной записи дроби цифры 9,"
|
Всего сообщений: 835 | Присоединился: октябрь 2003 | Отправлено: 10 окт. 2005 18:55 | IP
|
|
gvk
Модератор
|
Если делать "численный эксперимент", то первая дробь дающая 9 в десятичной записи будет 1/11, затем вроде это будет происходить все чаще, так как периоды рациональной дроби должны быть все длиннее (в среднем конечно). Ну это так - интуиция. А вообще-то, черт его знает . Вам, как говорится, и грабли в руки.
|
Всего сообщений: 835 | Присоединился: октябрь 2003 | Отправлено: 10 окт. 2005 19:11 | IP
|
|
dm
Удален
|
Цитата: gvk написал 10 окт. 2005 17:55
dm
Если у вас есть знакопостоянный 'ряд' (series) и есть 'подряд' (subseries) составленный из членов ряда, и если 'подряд' расходится, то ряд уж точно расходится.
Отлично. Гармонический ряд расходится. В чем тут противоречие?
Ряд из чисел, обратных не содержащим 9 и обратных содержащим 9, не являются один частью другого.
Автор наверно имел ввиду не "если оставить только члены, не содержащие в десятичной записи знаменателя цифры 9," а "если оставить только члены, не содержащие в десятичной записи дроби цифры 9,"
Это другая задача.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 10 окт. 2005 19:14 | IP
|
|
dm
Удален
|
gvk
Решение этой задачи в первоначальной формулировке (а не так, как предлагаете Вы) приведено на форуме библиотеки мехмата по тому линку, что я дал выше.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 10 окт. 2005 19:17 | IP
|
|
Форум
Гармонический ряд без девяток в записи
