Unnamed
Новичок
|
    
Задача такова: требуется указать какую-нибудь функцию
w = W(z), область определения которой – множество комплексных чисел, а область значений – множество действительных чисел, а также обратную ей функцию
z = Z(w), причём должны выполняться следующие условия:
1) W(z1) = W(z2) <=> z1 = z2,
2) (Re z1 < Re z2, Jm z1 = Jm z2) => W(z1) < W(z2)
3) (Jm z1 < Jm z2, Re z1 = Re z2) => W(z1) < W(z2).
Я пробовал решать эту задачу путём представления чисел
e^(–e^(–Re z)) и e^(–e^(–Jm z)) в позиционной системе счисления с последующим составлением нового числа v путём чередования знаков исходных чисел и преобразованием
w = –ln (–ln v). Но... область значений получается не R :-)
(Сообщение отредактировал Unnamed 11 сен. 2005 21:19)
|
Всего сообщений: 44 | Присоединился: март 2005 | Отправлено: 11 сен. 2005 21:13 | IP
|
|
iamdolphin1
Участник
|
Слушай ты не знаешь как обозначить на графики
modul Imz >=0 ?
---
Замечание за офф-топик и дубль!
(Сообщение отредактировал dm 12 сен. 2005 17:20)
|
Всего сообщений: 133 | Присоединился: февраль 2005 | Отправлено: 12 сен. 2005 9:11 | IP
|
|
Mazut
Удален
|
...требуется указать какую-нибудь функцию
w = W(z), область определения которой – множество комплексных чисел, а область значений – множество действительных чисел, а также обратную ей функцию z = Z(w),.
Трудно себе даже такое представить... Например, пусть на плоскости Oxy отображается множество комлексных чисел, на оси Oz - соответствующее значение функции w=w(z). Вполне допустимо рассматривать функцию w=w(z) как функцию двух переменных x,y, т.е. z=f(x,y). Тогда непонятно как можно найти "обратную функцию (x,y)=h(z)". Например,
f(x,y)=x^2+y^2, пусть z=1 => x^2+y^2=1, тогда x,y - находятся неоднозначно...
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 14 сен. 2005 15:40 | IP
|
|
dm
Удален
|
Mazut
Ну, может, x^2+y^2 - это слишком "хорошая" функция (гладкая и все такое).  Искомая функция, если существует, должна быть сильно "нерегулярной".
То есть вопрос в том, что происходит с задачей про биекцию плоскости на прямую, если добавить дополнительное условие раздельной монотонности.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 14 сен. 2005 17:22 | IP
|
|
Indigo
Удален
|
Искомая функция, если существует, должна быть сильно "нерегулярной".
По ходу, даже непрерывной биекция из R^2 в R быть не может 
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 14 сен. 2005 22:17 | IP
|
|
Mazut
Удален
|
Тут как-то вспоминаются кривые Пеано, которые как известно, отображают отрезок на гиперкуб (даже в R^n -> см. Стронгина). Может быть стоит определить функцию на подобной кривой, а потом как-нибудь к пределу. Правда жуть получиться...
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 15 сен. 2005 15:08 | IP
|
|
Unnamed
Новичок
|
Mazut @ postno=3 wrote:
...требуется указать какую-нибудь функцию
w = W(z), область определения которой – множество комплексных чисел, а область значений – множество действительных чисел, а также обратную ей функцию z = Z(w)
Трудно себе даже такое представить...
Просто задать взамооднозначное соответствие (без условий (2) и (3)) у меня получалось... вроде бы :-) Но выложить решение упрощённого варианта задачи пока не могу – времени нет (сложное оно, долго набирать) :-)
dm @ postno=4 wrote:
Искомая функция, если существует
Мне кажется, существует. Упорядочить-то комплексные числа можно – например, так:
z1 < z2 <=> Re z1 < Re z2 или (Re z1 = Re z2, Jm z1 < Jm z2).
Mazut @ postno=6 wrote:
Тут как-то вспоминаются кривые Пеано
Вспомнить бы ещё мне, что это такое :-)
|
Всего сообщений: 44 | Присоединился: март 2005 | Отправлено: 15 сен. 2005 22:01 | IP
|
|
Mazut
Удален
|
Кривые Пеано можно строить разными способами. Например, на плоскости можно задать спиралевидную кривую:
Точки h(0,0) -> h(1,0) -> h(1,1) -> h(-1,1) -> h(-1,-1) -> h(2,-1) -> h(2,2) и т.д. Естественно, чем меньше шаг h, тем большее количество точек плоскости удается "замести". В пределе h->0 можно каждой точке плоскости сопоставить точку на кривой. Возможен и непрерывный аналог, типа спирали Архимеда. За дальнейшей информацией надо лезть в литературу (хотя бы к Стронгину, - там должны быть ссылки)...
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 16 сен. 2005 16:45 | IP
|
|
dm
Удален
|
Цитата: Mazut написал 15 сен. 2005 14:08
Тут как-то вспоминаются кривые Пеано...
Кривые Пеано тут не подходят, поскольку это не биекция.
Indigo выше уже упоминал,что непрерывные функции не годятся.
(Сообщение отредактировал dm 17 сен. 2005 0:05)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 17 сен. 2005 1:03 | IP
|
|
Mazut
Удален
|
dm wrote:
Кривые Пеано тут не подходят, поскольку это не биекция.
Разумеется, с помощью подобных кривых на всем множестве R^2 биекцию в R не построить, об этом и речи нет. Тем не менее, если не требуется что-то доказывать, такой способ может оказаться полезным.
В отношении того что данная функция (если она существует), - будет разрывной, то, скорее всего так оно и должно быть. Вот только какая тут связь? Например, никто не мешает построить разрывную функцию на кривой в R^2. И почему вдруг разрывная функция из R в R не может быть биективным отображением?
Вопрос скорее в том чтобы построить взаимооднозначное соответствие между точками плоскости и точками на прямой. Интуитивно кажется, что сделать это невозможно (можно сравнить с тем, что прямая в R^2 имеет меру 0), но это интуитивно...
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 19 сен. 2005 17:25 | IP
|
|
|
Форум
Отображение комплексной плоскости на действительную прямую
