Guest
Новичок
|
    
Вопрос.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 28 июня 2005 18:56 | IP
|
|
dm
Удален
|
Определенный интеграл (тогда в каких пределах?) или неопределенный?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 28 июня 2005 19:51 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Неопределенный. Читал, что его на олимпиаде дали, вроде бы берётся.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 29 июня 2005 10:27 | IP
|
|
dm
Удален
|
Не думаю... 
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 29 июня 2005 14:12 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
В элементарных функциях данный интеграл не выразить...
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 29 июня 2005 20:20 | IP
|
|
dm
Удален
|
Сейчас кто-то обязательно спросит, а как доказать, что нельзя... И т.д.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 29 июня 2005 21:45 | IP
|
|
sms
Удален
|
Интересная мысль-а как правда доказать, что нельзя, то есть свести к известному неберущемуся?
А на олимпиаде, наверное, как справедливо указал dm, всё-таки дали определённый от 0 до 1.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 29 июня 2005 21:58 | IP
|
|
dm
Удален
|
sms
Это умеют делать алгебраисты. Специальный раздел есть - диффенциальная алгебра. Есть теория Пикара-Вессио, обобщающая теорию Галуа для алгебраических уравнений на случай дифференциальных.
определённый от 0 до 1.
И в каком, Вы думаете, виде, здесь можно представить ответ?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 29 июня 2005 22:53 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
y=x^x на интервале (0;1) можно представить в виде y=e^x*ln(x) и разбить в экспоненциональный ряд. Вследствие ограниченности сиволики данного форума, нет возможности представить промежуточные рассчеты, но в итоге получается бесконечный ряд в виде двойной суммы. Подставляя пределы интегрирования находим, что в точке x=0 значение интеграла равно С - константа; в точке x=1 значение интеграла равно ln(2)+C. Следовательно значение данного интеграла равно ln(2). Замечу, что в точке x=0 значение функции y=x^x неопределено, следовательно интеграл является несобственным, поэтому операции над рядом следует проводить аккуратно.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 30 июня 2005 19:03 | IP
|
|
dm
Удален
|
MEHT
Мне кажется, Вы ошибаетесь. Там получается не ряд Маклорана для логарифма в точке 2, а ряд
sum_(n=1)^oo (-1)^(n-1)/n^n.
Численное значение и суммы этого ряда, и
integral_0^1 x^x dx равно 0.7834305107... , а ln(2)=0.6931471805...
Кстати, аналогично
integral_0^1 dx/x^x = sum_(n=1)^oo 1/n^n.
Еще одна забавная шутка на эту тему - это что
integral_0^1 integral_0^1 (xy)^(xy) dx dy = integral_0^1 x^x dx.
Замечу, что в точке x=0 значение функции y=x^x неопределено, следовательно интеграл является несобственным, поэтому операции над рядом следует проводить аккуратно.
Да нет. Функция доопределяется в нуле единицей с сохранением непрерывности, так что интеграл как раз собственный (как и интегралы от каждого из членов ряда). Единственное, что надо проверять, - это что можно менять местами интегрирование и суммирование ряда. Это сейчас законно за счет равномерной сходимости ряда на [0,1].
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 30 июня 2005 19:58 | IP
|
|
|
Форум
Интеграл от x^x
