Crusader
Удален
|
    
Дан ряд:
(-1)^n * X^4 / (n^3 - 2)^3/2 (n меняется от 1 до бесконечности)
Надо доказать равномерную сходимость на множестве [0;1]
Для доказательства нужно функция, к которой сходиться этот функциональный ряд. Для этого надо найти предел от ряда при n стремящемся к бесконечности. Но такого предела не существует.
Что делать?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 9 мая 2005 20:18 | IP
|
|
dm
Удален
|
Crusader
Но такого предела не существует.
Почему Вы так решили?
Для доказательства нужно функция, к которой сходиться этот функциональный ряд.
Не обязательно. Критерий Коши и признаки Вейерштрасса, Дирихле, Лейбница позволяют проверять сходимость или равномерную сходимость, и не имея суммы ряда.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 9 мая 2005 21:10 | IP
|
|
Crusader
Удален
|
"Почему Вы так решили?"
А разве нет? Ведь при n стремящемся в бесконечность (-1)^n не имеет предела, так как данную последовательность можно разбить на две одна из которых стремиться к 1, другая к (-1) или я что-то путаю?
"Не обязательно. Критерий Коши и признаки Вейерштрасса, Дирихле, Лейбница позволяют проверять сходимость или равномерную сходимость, и не имея суммы ряда."
Дело в том, что данный пример задали на практике, а на теорию мы это ещё не проходили. Я порылся в учебнике, да ничего насчёт равномерной сходимости не нашёл. Порылся в инете, но тоже что-то ничего (окромя доказательства сходимости при помощи предела).
Не могли бы подсказать эти признаки или хотя бы где про них можно прочитать.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 9 мая 2005 22:15 | IP
|
|
dm
Удален
|
Ведь при n стремящемся в бесконечность (-1)^n не имеет предела
Это верно. И какое это имеет отношение к сходимости (равномерной или неравномерной) или расходимости данного ряда?
где про них можно прочитать.
Годится почти любой учебник по математическому анализу. Например,
Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2. Гл.11,12.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 10 мая 2005 0:13 | IP
|
|
Crusader
Удален
|
"Это верно. И какое это имеет отношение к сходимости (равномерной или неравномерной) или расходимости данного ряда?"
Ну наверное я ошибаюсь, но попробую объяснить то, что я имел в виду.
Надо доказать равномерную сходимость. По определению функциональный ряд fn(x) - равн. сход. если для любого E > 0 существует N такое, что для любого n > N верно, что
|fn(x) - f0(x)| < E (где f0(x) - предельная функция)
Следовательно, что бы доказать равномерную сходимость ряда в-перую очередь надо найти предельную функцию. Но она равна пределу ряда при n стремящемуся к бесконечности.
В нашем случае она равна пределу ряда
(-1)^n * X^4 / (n^3 - 2)^3/2
Но так как (-1)^n не имеет предела, то и всё это выражение не имеет предела.
Или имеет? Или ошибка в другом?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 10 мая 2005 0:58 | IP
|
|
Crusader
Удален
|
Значит скачал я Фихтенгольца, начал читать, но вдруг вспомнил - равномерную сходимость ряда мне нужно доказать по определению!
Так какая предельная функция у данного ряда?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 10 мая 2005 19:11 | IP
|
|
dm
Удален
|
функциональный ряд fn(x)
Я не понимаю, что это значит.
Должно быть либо "функциональная последовательность f_n(x)", либо "функциональный ряд sum_(n=1)^oo f_n(x)".
Так всё-таки в Вашей задаче надо исследовать функциональную последовательность (тогда должен быть известен общий вид n-го члена последовательности) или функциональный ряд (тогда должна быть бесконечная сумма с известным общим видом n-го члена ряда)?
Сформулированное Вами определение больше напоминает определение равномерной сходимости для случая функциональной последовательности (хотя всё равно есть неточности: например, не понятно, это неравенство выполняется для каких х, а также зависит ли N от х).
Если в Вашей задаче речь идет всё-таки о функциональном ряде, Вам следует подумать или прочитать, как это определение переформулируется в случае функционального ряда.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 10 мая 2005 20:36 | IP
|
|
SCERB
Удален
|
Сразу предупреждаю, что могу что-то напутать.
Можно вынести x^4 за скобки. В скобках получиться знакопеременный абсолютно сходящийся ряд с конечной суммой. Обозначте сумму этого ряда какой-то буквой.
А дальше, мне кажется, надо уточнить условие.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 10 мая 2005 21:41 | IP
|
|
Crusader
Удален
|
"Можно вынести x^4 за скобки."
Спасибо, что заговорил об это, потому что условие я записал конечно неправильно, сделав две ошибки.
Исходный пример такой:
(-1)^n * X^n / (n^3 - 2)^1/3 (n меняется от 1 до бесконечности)
Надо доказать равномерную сходимость на множестве [0;1]
"Если в Вашей задаче речь идет всё-таки о функциональном ряде, Вам следует подумать или прочитать, как это определение переформулируется в случае функционального ряда."
Это всё-таки функциональный ряд.
Почитал учебник - нашёл определение (надеюсь, что теперь оно правильное)
Определение:
Ряд Un(x)=U1(x)+U2(x)+U3(x)+U4(x)+...+Un(x)+..., сходящийся для всех x из X, называется равномерно сходящимся в X, если для каждого числа E>0 существует такой независящий от x номер N, что при n>N неравенство |fn(x) - f(x)|<E или |Yn(x)|<E
выполняется для всех x из X.
(где fn(x) - частичная сумма fn(x)=U1(x)+U2(x)+U3(x)+U4(x)+...+Un(x)
f(x) - сумма ряда
Yn(x) - n-ный остаток ряда)
Дальше разбирался пример аналогичный моему. Поэтому свой пример доказыва также как там.
Во-первых этот ряд сходиться по признаку Абеля.
Во-вторых остаток данного ряда по абсолютной величине не превосходит его первого члена, то есть
|Yn(x)|< x^n / (n^3 - 2)^1/3
|Yn(x)|< 1 / (n^3 - 2)^1/3 (при x из на множества [0;1])
таким образом E = 1 / (n^3 - 2)^1/3
Правильно???
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 10 мая 2005 22:41 | IP
|
|
dm
Удален
|
Crusader
Во-первых этот ряд сходиться по признаку Абеля.
Правильно или неправильно зависит от того, как именно Вы этот признак применяете.
таким образом E = 1 / (n^3 - 2)^1/3
Надо понимать, что Вы не по n предъявляете E, а по E предъявляете n.
В смысле для любого E>0 можно выбрать N не зависимо от x:
1/(N^3-1)^(1/3)<E,
так что начиная с него выполнено неравенство.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 10 мая 2005 23:45 | IP
|
|
|
Форум
Равномерная сходимость.
