XCode
Удален
|
    
Помогите плиз решить задачку с олимпиады
sin (x + sinx) + cos (x+cosx) = 0
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 17 марта 2005 0:22 | IP
|
|
dm
Удален
|
Воспользуйтесь формулой преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.
Ответ: -pi/4+pi*n.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 17 марта 2005 15:34 | IP
|
|
XCode
Удален
|
не могли бы обьяснить по подробнее , как получился столь простой ответ , у меня выходит нечто ужасное
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 24 марта 2005 22:12 | IP
|
|
dm
Удален
|
у меня выходит нечто ужасное
Напишите подробнее.
Разложите левую часть уравнения в произведение. Один множитель ничего хорошего, кажется, не даст. А из другого получится уравнение, которое надо будет решать. (Можно будет нарисовать картинку.)
(Сообщение отредактировал dm 24 марта 2005 21:47)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 24 марта 2005 22:47 | IP
|
|
sms
Удален
|
Эту задачу действительно можно решить по формуле суммы косинусов. Преобразуя sin(a)=cos(pi/2-a),затем переходим от суммы косинусов к произведению. Приравнивая нулю сомножители, получим две задачи.
1: cos(x)-sin(x)=pi/2+2pik.
Это уравнение не имеет решений, так как левая часть по модулю <=sqrt(2), а правая всегда его строго больше.
2: 2x+cos(x)+sin(x)=-pi/2-2pik.
Здесь производная правой части неотрицательна. Следовательно, функция справа возрастает. Поэтому, при любом к решение единственно. Беру его- и угадываю: x=-pi/4-pik, а других то нет!
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 27 марта 2005 23:14 | IP
|
|
sms
Удален
|
Стоит добавить:
2x+cos(x)+sin(x)=2x+sqrt(2)sin(x+pi/4)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 27 марта 2005 23:17 | IP
|
|
SCERB
Удален
|
Кажется, производная левой части, если сидеть с передней стороны монитора.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 30 марта 2005 15:14 | IP
|
|
XCode
Удален
|
большое всем спасибо, но мне интересно где же ошибка в этом решении, ведь ответ получился другой :
=========================
sin(x + sin(x)) + cos(x + cos(x)) = 0
обозначим
А = x + sin(x)
В = x + cos(x)
тогда
sin(A) + cos(B) = 0
sin(A) = -cos(B)
sin(A) = cos(П - В)
sin(A) = sin(П/2 - (П - В))
sin(A) = sin(-П/2 + B)
из тригонометрии мы знаем, что два синуса равны если их аргументы равны. следовательно
A = -П/2 + B
Подставляем замену
x + sin(x) = -П/2 + x + cos(x)
х взамно уничтожается. соответственно имеем:
cos(x) - sin(x) = П/2
1*cos(x) + (-1)*sin(x) = П/2 (1)
Для решения уравнения (1) строят прямоугольный треугольник в декартовой системе координат, у которого оба катета равны по единице однако катет вдоль оси у опущен вниз т.к. коффициент при sin(x) отрицательный. по теор. пифагора гипотенуза этого треугольника равна sqrt(2). sqrt(2) - обозначает квадратный корень из 2. Обозначим угол между гипотенузой и катетом вдоль оси х за С. Тогда в этом тругольнике
-1 = sqrt(2)*sin(С)
1 = sqrt(2)*cos(С)
C = arctg(-1/1) = arctg(-1) = - П/4
подставим эти значения в уравнение (1)
sqrt(2)*cos(С)*cos(x) + sqrt(2)*sin(С)*sin(x) = П/2
cos(С)*cos(x) + sin(С)*sin(x) = П*sqrt(2)/4
если внимательно посмотреть на левую часть этого уравнения, то можно увидеть что это есть косинус разности, т.е. левую часть можно свернуть и получить следующее:
cos(x - C) = П*sqrt(2)/4
подставим значение С
cos(x + П/4) = П*sqrt(2)/4
x + П/4 = +-arccos(П*sqrt(2)/4) + 2Пk
x = +-arccos(П*sqrt(2)/4) - П/4 + 2Пk, где k принадлежит множеству целых чисел
(Сообщение отредактировал XCode 31 марта 2005 15:31)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 31 марта 2005 15:06 | IP
|
|
dm
Удален
|
из тригонометрии мы знаем, что два синуса равны если их аргументы равны.
Разве? 
1*cos(x) + (-1)*sin(x) = П/2
Легко видеть, что у этого уравнения нет корней. Действительно, наибольшее значение левой части = корень из 2. Это меньше, чем пи пополам.
x + П/4 = +-arccos(П*sqrt(2)/4) + 2Пk
Вы должны бы знать, что арккосинус определен не всегда!
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 31 марта 2005 16:09 | IP
|
|
XCode
Удален
|
еще раз спасибо
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 31 марта 2005 20:54 | IP
|
|
Форум
sin (x + sinx) + cos (x+cosx) = 0
