Alfalfa
Начинающий
|
    
Вобщем, такой вопрос меня замучал: чем логически объясняется то, что в уравнении x^0.5=a по умолчанию берется именно арифметический корень, а не алгебраический? Как это объясняется логически?
Из соседней темки:
Цитата: Roman Osipov написал 15 окт. 2008 19:12
Если Вы рассматриваете просто корень из числа, то это функция многозначная, с двумя ветвями, с точкой ветвления в нуле. По умолчанию рассматривается ветвь, которая соответствует арифметическому квадратному корню.
Пример. Имеем уравнение:
x^(1/3)=-2
Ничего про использование корня не сказано. Если мы принимаем, что корень - арифметический - то ответ "корней нет", если алгебраический - то x=-8.
В случае квадратного корня:
x^(1/2)=-1
Ничего не сказано - значит по умолчанию берем арифметичский квадратный корень - тогда корней нет, или же обычный корень, и корнями уравнения считаем x=i?
Ещё интереснее:
x^(1/2)=-4
Корней нет или же будем считать, что у уравнения один корень (x=2i) или же что два корня (x=-2i и x=2i)?
Как это объясняется с точки зрения логики (когда берется арифметический корень, когда - алгебраический), а не с точки зрения простого запоминания. Т.е. на чем-то это основано, или просто так принято?
Ведь в некоторых случаях у вот такого уравнения:
x^(1/4)=16
без дополнительно указанных условий принимаем только один корень (2), иногда - 2 (-2, 2), иногда - 4 (-2i, 2i, -2, 2).
|
Всего сообщений: 65 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 17 окт. 2008 0:07 | IP
|
|
Roman Osipov 
Долгожитель
|
   
Все что сказано ниже относится только к полю R!!!
Так как при n=2k+1, k натуральное или ноль, обратная функция к функции y=x^n существует для всей области определения функции y, т. е. множества R, то обратная функция, а именно корень n-й степени из x существует для всех x из R и однозначно(!!!) определен. Поэтому, если понимать просто корень из x n-й степени, то sqrt(n)(x)=sign(x)*sqrt(n,арифм)(|x|), sign(x) — функция знака, sqrt(n,арифм)(x) — арифметический корень степени n из х, который определен аналогично арифм. квадратному корню из x.
Если рассматривать n=2k, k натуральное, обратная функция к функции y=x^n существует на каждой из полуосей x<=0 и x>=0. Ту обратную функцию, что соотв. лучу x>=0 называют арифметическим корнем степени n (для n=2k+1 это тоже верно). Ту, что соотв. x<=0 также можно рассматривать, но так сложилось исторически, что первая вошла в обиход и укоренилась там, из-за в основном физических соображений (например, когда вы знаете площадь квадрата, а нужно найти его сторону, вы находите корень из площади и из физ. соображений, берете значение обр. функции к функции y=x^2 к оси x>=0).
Подобное произошло со многими функциями, обратные для которых не однозначны, например arcsinx, arccosx и др. обратные тригонометрические функции, которые можно определить иначе.
Для многозначных функций возможно построение их "однозначным" образом на поверхностях Римана (см. теорию ТФКП) с весьма причудливым сопряжением ветвей.
Вопрос, затронутый Вами весьма интересен и происходит из-за недостаточной корректности введения соотв. понятий в школах, учебниках, ВУЗах и просто людьми.
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 17 окт. 2008 0:43 | IP
|
|
Alfalfa
Начинающий
|
"но так сложилось исторически, что первая вошла в обиход и укоренилась там, из-за в основном физических соображений" - О! Спасибо! Об этом я и не подумала 
Хотя одно дело - геометрические задачи - тогда, когда мы по задачам пишем уравнение - мы записываем ещё и ограничение, а другое дело - просто уравнение без ограничений. Ведь решение уравнения - просто нахождение неизвестной (-ных), при которой равенство верно.
Но если исторически сложилось - то понятно.
Но тогда не понятно, почему обычно корнем уравнения x^(1/2)=-1 подразумевают обычно тоже x=i, а не x=-i и x=i
По аналогии с арифметическим корнем из 1?
Интересно это - ведь обычно в жизни так: если уточнений нет - берется общий вид, а если есть - частный, а здесь наоборот получается...
Вобщем грубо говоря: получается, что просто условились, что в таком случае - алгебраический, в таком - арифметический? Т.е. это не "почему-то" а лишь потому, что так было условлено?
"Подобное произошло со многими функциями, обратные для которых не однозначны, например arcsinx, arccosx и др. обратные тригонометрические функции, которые можно определить иначе." - не... в случае с обратными тригонометрическими всё логично. Там все возможные значения учитываются (т.к. учитывается периодичность функции, к примеру arcsin(0)=п*k, а не arcsin(0)=0 или arcsin(0)=п).
|
Всего сообщений: 65 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 17 окт. 2008 1:37 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
Определение i как корня из -1 вообще говоря не корректно, это специальный символ, введенный для минимального расширения поля R до поля C, согласно теореме Фробениуса, притом единственно возм. (остальные ему изоморфны).
В математике огромное количество условностей, многие из которых проявляются не сразу (например, главная условность, введение аксиом).
Вы не осознали аналогии с введением обратных триг. функций, подумайте над этим.
Вы привели значения для полных обратных функций (Arcsinx), которые многозначны и потому не рассматриваются как классические функции, в классическом анализе рассматриваются их главные ветви.
Главной ветвью корня n-й степени их наз ветвь обр. функции к функции y=x^n на луче x>=0.
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 17 окт. 2008 7:40 | IP
|
|
Alfalfa
Начинающий
|
Цитата: Roman Osipov написал 17 окт. 2008 7:40
Определение i как корня из -1 вообще говоря не корректно
А разве я даю определение "i - это корень из -1"?
Нет.
Я спрашиваю, почему при решении уравнения x^(1/2)=-1 корнем обычно берут x=i, а не x=-i и x=i
Цитата: Roman Osipov написал 17 окт. 2008 7:40
В математике огромное количество условностей, многие из которых проявляются не сразу (например, главная условность, введение аксиом).
Аксиомы - логичны, здесь же логика не чувствуется.
Цитата: Roman Osipov написал 17 окт. 2008 7:40
Вы не осознали аналогии с введением обратных триг. функций, подумайте над этим.
Так объясните
|
Всего сообщений: 65 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 17 окт. 2008 11:59 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
1. В поле C корень n-й степени из числа z (n принадлежит N\{1}) имеет в точности n значений, и если вы рассматриваете некоторый контур C, не содержащий внутри себя точку (0,0), то для функции sqrt(n)(z) на этом контуре можно выделить n однозначных ветвей, поэтому если Вы рассматриваете корень 2-й степени из -1 на конкретной ветви, то можно полагать на одной sqrt(-1)=i, на другой sqrt(-1)=-i, если рассматриваете их совокупность, то sqrt(-1)=(+-)i.
2. По поводу аксиом, далеко не все из них так уж логичны, как Вам кажется, для примера можно взять аксиому скалярного произведения комплексного 2-мерного пространства Минковского или, скажем, аксиому геометрии Лобачевского, о том, что через точку не лежащую на данной прямой можно провести не менее 1 прямой, параллельной данной.
3. я уже столько говорил, что Ваша проблема возникает из за того, что у обратной функции к данной существует несколько однозначных ветвей, что повторять это еще раз и разбирать на примере обр. тригонометрических функций не буду.
4. Почитайте книгу великого немецкого математика Феликса Клейна (привожу ниже ссылку на 1 том) "Высшая математика с точки зрения высшей", думаю, после этого многие из подобных вопросов для Вас уладятся и ответы на них устоятся.
внешняя ссылка удалена
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 17 окт. 2008 16:32 | IP
|
|
Alfalfa
Начинающий
|
1. " поэтому если Вы рассматриваете корень 2-й степени из -1 на конкретной ветви, то можно полагать на одной sqrt(-1)=i, на другой sqrt(-1)=-i, если рассматриваете их совокупность, то sqrt(-1)=(+-)i"
Я прекрасно это понимаю. Вопрос стоял совершенно не в этом
2. И что же в ней не логичного? Разве через точку, не лежащую на данной прямой нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной? 
3. Вы ни разу не сказали, как именно иначе можно определять эти самые обратные тригонометрические функции. Пример, пожалуйста
|
Всего сообщений: 65 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 17 окт. 2008 20:34 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
2. Ловко воспользовались моей опечаткой, в действительности аксиома звучит несколько иначе (соотв. исправл. внесено): через точку не лежащую на данной прямой можно провести по крайней мере 2 прямые (различные), параллельные данной.
3. Ну хорошо, раз сами сообразить не хотите, например так
arcsinx=(sin(x))^(-1) (имеется обр. функция к sin(x)), x принадлежит [pi/2;3pi/2]
1. Если Вы все отлично понимаете, то должны понять, что на Ваш вопрос исчерпываюше ответили.
Больше отвечать на Ваши вопросы я не буду.
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 17 окт. 2008 21:03 | IP
|
|
Alfalfa
Начинающий
|
"Ну хорошо, раз сами сообразить не хотите, например так
arcsinx=(sin(x))^(-1) (имеется обр. функция к sin(x)), x принадлежит [pi/2;3pi/2]"
Обозначение странное... (sin(x))^(-1)= cos(x), а не arcsinx
Результат уравнения arcsinx=а записывают не числами, принадлежащими интервалу [pi/2;3pi/2], а всеми значениями х - т.е. с указанием периода, поэтому сравнение с корнями не логично.
|
Всего сообщений: 65 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 17 окт. 2008 21:25 | IP
|
|
Alfalfa
Начинающий
|
"Если Вы все отлично понимаете, то должны понять, что на Ваш вопрос исчерпываюше ответили."
Ага. Я спросила: "почему ответом берут то-то или то-то" - мне ответили "ответом берут то-то или то-то"
|
Всего сообщений: 65 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 17 окт. 2008 21:32 | IP
|
|
|
Форум
Корни:
