StiK
Новичок
|
    
Помогите даказать сходимость последовательности с помошью кретериеев Коши
xn=cos2/3+cos3/3^2+....+cos(n+1)/3^n
|
Всего сообщений: 11 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 окт. 2008 20:30 | IP
|
|
RKI 
Долгожитель
|
x{n} = cos2/3+cos3/3^2+....+cos(n+1)/3^n
x{n+p} = cos2/3+cos3/3^2+....+cos(n+p+1)/3^(n+p)
Пусть эпсилон любое число, большее нуля.
Тогда
|x{n+p} - x{n}| =
|cos(n+2)/3^(n+1)+cos(n+3)/3^(n+2)+....+cos(n+p+1)/3^(n+p)|
< = |cos(n+2)/3^(n+1)| + |cos(n+3)/3^(n+2)|+....+
+ |cos(n+p+1)/3^(n+p)| <=
< = |cos(n+2)|/3^(n+1) + |cos(n+3)|/3^(n+2)+....+
+ |cos(n+p+1)|/3^(n+p) <=
1/3^(n+1) + 1/3^(n+2) +....+ 1/3^(n+p) =
= 1/3^(n+1)/(1-1/3) = 1/(2*3^n) < эпсилон
при n > -log(2*эпсилон) (логарифм по основанию 3) и всех натуральных p.
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 окт. 2008 21:33 | IP
|
|
StiK
Новичок
|
ещё пример доказать неограниченность последовательности {xn} если
xn=(1-n)/корень n у меня почемуто получается наоборот
(Сообщение отредактировал StiK 17 окт. 2008 0:00)
|
Всего сообщений: 11 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 окт. 2008 22:02 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Исследовать сходимость ряда
[сумма членов; от n=1 до бесконечности]= e^(-sqrt(n))/sqrt(n)
...предполагаю что решение должно быть по интегральному признаку Коши, но немогу довести его до ума. Помогите, пожалуйста.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 22 окт. 2008 23:08 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
   
Показываете, что выполнено сравнение:
Summ(n=1,...,+беск)((e^(-sqrt(n)))/sqrt(n))<=Int(1--->+беск)((e^(-sqrt(x-1)))/sqrt(x-1))dx=2
Или же, проверяете пункты инт. признака Коши:
1. f(n)=a_n, n=1,2,...
2. f(x)>0 для любого x>=1
3. f(x) монотонно убывает при x>=1
Если 1-3 выполнено, то интеграл Int(0-->+беск)(f(x))dx и ряд Summ(n=1,2...)(a_n) сходятся или расходятся одновременно.
В Вашем случае соотв. интеграл сходится, а значит и ряд сходящийся.
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 22 окт. 2008 23:54 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Небольшое уточнение ибо мне скорее весьма важнее понять принцип нежели просто решить задание:
"Summ(n=1,...,+беск)((e^(-sqrt(n)))/sqrt(n))<=Int(1--->+беск)((e^(-sqrt(x-1)))/sqrt(x-1))dx=2 "
Почему Вы взяли, в интегральной форме, именно предыдущий аргумент члена ряда [x-1], а не [x]? Зачем это было сделано, если взяв Int(1--->+беск)((e^(-sqrt(x)))/sqrt(x))dx можно тоже получить конечную сумму (у меня получилось 2/е=0,74), чтобы убедится что интеграл сходящийся. (?)
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 23 окт. 2008 20:15 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
e^(-sqrt(n)))/sqrt(n)<=e^(-sqrt(x-1))/sqrt(x-1) (n=1,2,...; x>1), что показывается элементарно. Отсюда выводится сравнение, которое я получил (т. е. в первом случае я не только показал, что ряд сходится, но и то, что его сумма не превышает 2 (она равно примерно 0.949)).
Далее я просто воспользовался интегральным признаком Коши, что Вам и было нужно.
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 23 окт. 2008 23:43 | IP
|
|
Lubaalin
Новичок
|
Помогите исследовать на сходимомость
Ряд: n=от 1 до бесконечности
(e^( -sqrt n+1))/(sqrt n+1)
|
Всего сообщений: 9 | Присоединился: апрель 2009 | Отправлено: 22 дек. 2009 21:06 | IP
|
|
|
Форум
Сходимость последовательностей
