Guest
Новичок
|
    
Здравствуйте, при решении иррациональных уравнений у меня возник любопытный вопрос. Если дано уравнение типа "корень из выражения = положительное число", то, возведя обе части уравнения в квадрат и найдя его корни, обязательно ли производить проверку? Просто во всех справочниках, которые у меня есть, в этом случае проверка проводится. Но я не могу понять, зачем? Ведь левая часть в ОДЗ всегда неотрицательна, а правая и так положительна по условию. Подскажите, может, я не прав?
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 15 окт. 2008 8:30 | IP
|
|
Roman Osipov 
Долгожитель
|
   
Все, что сказано ниже относится к решению уравнений в поле R.
Совершенно правы, в случае, если уравнение типа sqrt(f(x))=a^2, то оно равносильно уравнению f(x)=a^4.
Однако, если уравнение имеет вид sqrt(f(x))=g(x), то необходимо после нахождения корней описанным Вами методом проверить их, или, что более грамотно и изящно, произвести переход к равносильной системе уравнений:
sqrt(f(x))=g(x)<=>1. f(x)=(g(x))^2
2. g(x)>=0
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 15 окт. 2008 9:12 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Видимо, авторы моих справочников не считают уравнение f(x)=a^4 равносильным sqrt(f(x))=a^2. Они-то меня и завели в тупик. Но спасибо Вам, что развеяли мои сомнения. 
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 15 окт. 2008 10:08 | IP
|
|
Alfalfa
Начинающий
|
Roman Osipov, не понимаю - зачем при sqrt(f(x))=g(x) g(x)>=0 , ведь корень из числа - это как положительное, так и отрицательное число...
Может всё же так?
sqrt(f(x))=g(x)<=>1. f(x)=(g(x))^2
2. f(x)>=0
|
Всего сообщений: 65 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 15 окт. 2008 14:06 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
Все, что сказано ниже относится для x из поля R.
Объясняю:
условие 1. f(x)=(g(x))^2 гарантирует неотрицательность подкоренного выражения
условие 2. g(x)>=0 возникает вследствие того, что выражение sqrt(f(x)) обязано быть неотрицательным.
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 15 окт. 2008 17:23 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
В вашей постановке
1. f(x)=(g(x))^2
2. f(x)>=0
получается "масло масленное", так как 2. непосредственно следует из 1. (если f(x) есть квадрат g(x), и g(x) действительная функция, то f(x) неотрицателна).
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 15 окт. 2008 17:31 | IP
|
|
Alfalfa
Начинающий
|
Цитата: Roman Osipov написал 15 окт. 2008 17:23
условие 2. g(x)>=0 возникает вследствие того, что выражение sqrt(f(x)) обязано быть неотрицательным.
Почему? Разве корень из 4 не равен +-2?
Определение: Квадратный корень из числа а — это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен а .
Ведь (-а)^2=а^2
|
Всего сообщений: 65 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 15 окт. 2008 18:35 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
Это определение квадратного корня.
В задачах, если ничего не оговорено противного
(!), используется арифметический квадратный корень, который определен так:
арифметическим квадратнымкорнем из числа a называется такое неотрицательное число b, что b^2=a.
Если Вы рассматриваете просто корень из числа, то это функция многозначная, с двумя ветвями, с точкой ветвления в нуле. По умолчанию рассматривается ветвь, которая соответствует арифметическому квадратному корню.
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 15 окт. 2008 19:12 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
У меня возник ещё один интересный вопрос по поводу той же темы. Что, если в уравнении типа sqrt(f(x))=g(x) правая часть содержит сумму или разность корней? Можно ли тогда "произвести переход к равносильной системе уравнений:
sqrt(f(x))=g(x)<=>1. f(x)=(g(x))^2
2. g(x)>=0"
без учёта ОДЗ подкоренных выражений?
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 16 окт. 2008 23:09 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
Можно, ведь ОДЗ "войдет" в новую систему, т. к. в условие g(x)>=0 могут входить только те х, при которых g(x) существует.
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 16 окт. 2008 23:46 | IP
|
|
|
Форум
Обязательно ли производить проверку?
