Sikle
Новичок
|
    
Afx=\int_0^2п cos(3x+4y)f(y)dy.
Мне частично привели решение этого чуда, однако к сожалению не смог в этом разобраться. Если кто понял, можете пожалуйста подробнее объяснить?
в пространстве L_2
Разложим f(y) в ряд Фурье, f(y)=a_0/2+\sum a_k cos(kx)+b_k sin(kx).
Тогда Afx=(cos(3x+4y), f(y))=(cos(3x+4y),a_4 cos(4x)+b_4 sin(4x))
Поскольку мы максимизируем ||Af||/||f||, ||f||=\sum a_k^2+b_k^2, то для
достижения максимума a_k=b_k=0 при k/=4.
Так что остается тупо проинтегрировать и найти максимум по двум
переменным, a_4 и b_4. Впрочем, у меня есть подозрение, что от них
вообще ничего не зависит. Тогда ответом будет sqrt(2п), или сколько там
получалось...
|
Всего сообщений: 4 | Присоединился: июль 2008 | Отправлено: 6 июля 2008 9:51 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Представьте ядро оператора в виде суммы
cos(3x+4y)=cos(3x) cos(4y) - sin(3x) sin(4y).
Тогда
Af(x)= п (cos(3x) a_4 - sin(3x) b_4).
Поэтому
||Af||^2 = п^3 (|a_4|^2 + |b_4|^2).
Следовательно
||Af||/||f|| =< п.
Равенство достигается, например, на функции cos(4y).
Ответ: п.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 6 июля 2008 10:34 | IP
|
|
Sikle
Новичок
|
Извените, Можно более подробно, откуда это
Af(x)= п (cos(3x) a_4 - sin(3x) b_4) - я так понимаю это остется после разложения в ряд фурье?.
и это.
||Af||^2 = п^3 (|a_4|^2 + |b_4|^2).
Просто эту задачу мне нужно защищать.
(Сообщение отредактировал Sikle 6 июля 2008 11:03)
|
Всего сообщений: 4 | Присоединился: июль 2008 | Отправлено: 6 июля 2008 11:02 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Вспомните ряд Фурье
f(x)=(a_0)/2 + \sum a_k cos(kx)+b_k sin(kx),
где
a_k = \int_0^2п cos(4y)f(y)dy/п.
b_k = \int_0^2п cos(4y)f(y)dy/п.
Поэтому
Af(x)= п (cos(3x) a_4 - sin(3x) b_4) .
Далее, используя ортогональность тригонометрический системы,
получаем
||Af||^2 = п^3 (|a_4|^2 + |b_4|^2) и
||f||^2 = п ((a_0^2)/2 + \sum (a_k^2 +b_k^2).
Осталось поделить и максимизировать.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 6 июля 2008 11:36 | IP
|
|
Sikle
Новичок
|
Спасибо
|
Всего сообщений: 4 | Присоединился: июль 2008 | Отправлено: 6 июля 2008 12:31 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Знаете я пришол к выводу читая учебник по математике для втузов что математика это не точная наука. А точная она лишь на уровне арифметики. Изложение рассуждений и доказательства содержут в себе огромные логические дыры не соответствия и часто всё доказательство делается "задним числом" из чего я сделал для себя вывод что знания даются нам фрагментарно и в сознательно искажённом виде чтобы мы могли научиться решать какие то стандартные задачи но чтобы в наших головах не складывалось целостного знания. Поэтому сколько не упорствуй разобраться до конца в этом не возможно всегда останется море вопросов которые перегрузят ваш мозг. Темикто пытался это сделать полнятся психбольницы.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 6 июля 2008 14:31 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
... или Академия наук
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 6 июля 2008 14:38 | IP
|
|
Sikle
Новичок
|
Мда)... согласен)... возможно вы не поверите, но лет 5 назад, я побеждал в обл олимпиадах по математике) сейчас правда другие заботы - закрыть сессию на степуху).
|
Всего сообщений: 4 | Присоединился: июль 2008 | Отправлено: 6 июля 2008 16:11 | IP
|
|
den111
Новичок
|
привет столкнулся с такой задачей: построить график функции
f(x)={x,x-rational;x^2,x-irrational}
помогите кто может!!!
|
Всего сообщений: 1 | Присоединился: май 2011 | Отправлено: 24 мая 2011 13:05 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
den111, Вы всерьёз желаете построить график всюду разрывной функции? 
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 25 мая 2011 21:21 | IP
|
|
Форум
Функциональный анализ.
