beetle
Удален
|
    
Разбираясь с спектральной теорией лин. операторов (конечном. случай) наткнулся на сравнительно общую теорему, которая никак не укладівается в голове. Потому решил обратиться за помощью к учасникам єтого форума =))
1.Прелюдия
Пусть {Pk(x)},0<k<m - произвольная система отличніх от нуля полиномов, Q(x) - их наименьшее общее кратное, А - линейній оператор, действующий в конечномерном пространстве Е.
Ясно, что Ker Q(A) = Ker P1(A)+...+Ker Pm(A)
2.Теорема
Если аннулирующий полином P(x) оператора А каким-нибудь образом разложен на множители:
P(x)=П Pk(x),k=1,...,m то имеет место разложение пространства
E=Ker P1(A)+...+ Ker Pm(A)
Для попарно взаимно простіх полиномов все справедливость теоремі очевидна. Но общий случай у меня візівает подозрение следующего характера. Именно, рассмотрим линейній оператор В такой, что
B^n=0 (иначе говоря В - нильпотентній оператор степени n). Минимальній полином М(х;B) оператора В имеет вид М(x;B)=x^n. Представим его в виде произведения:
M(x;B)=Q(x)*R(x), где Q(x)=x^(n-k),R(x)=x^k, 0<k<n.
Тогда по теореме Е=Ker Q(B)+Ker R(B)= Ker Q(B), поскольку Q(x) - наименьшее общее кратное для полиномов Q(x) и R(x).
Следовательно Q(B)=0 причем deg Q(x)<deg M(x;B) , что противоречит определению M(x;B).
Возможно я ошибаюсь?
PS заранее благодарен за помощь
(Сообщение отредактировал beetle 15 июля 2004 0:25)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 14 июля 2004 23:15 | IP
|
|
VESh
Удален
|
Вы практически опровергли неверность "ясного" заключения из Вашей прелюдии.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 10 нояб. 2004 20:58 | IP
|
|
dm
Удален
|
VESh
Посмотрите на дату сообщения beetle.
Если Вам интересно это обсуждение, то оно велось также внешняя ссылка удалена.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 10 нояб. 2004 21:32 | IP
|
|
|
Форум
Противоречивая теорема (или мне только кажется)
