Strannik
Удален
|
    
В том-то и дело, что для каждой функции f_k существует точка r_k на [0;1], где она недифференцируема, а значит она недифференцируема на отрезке [0;1] вообще, т.е. теорему о равномерной сходимости для доказания дифференцируемости ряда применять нельзя
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 6 нояб. 2005 10:50 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Так мы даже частичные суммы не можем дифференцировать, а чтож тогда говорить о сумме  ???
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 6 нояб. 2005 17:24 | IP
|
|
Strannik
Удален
|
Не можем? М-м... Ну и что? Может это и решает проблему в рациональных точках. Но это не решает вопрос с иррациональными точками - там-то мы частичные суммы все легко продифференцируем!;) А теорему применить не сможем
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 6 нояб. 2005 20:43 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
частичные суммы не можем дифференцировать
Приношу извинения Strannik'у!!
Ето все не верно!!!!!!! Еще пока не могу показать все решение..
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 16 нояб. 2005 18:28 | IP
|
|
ek
Удален
|
заметим
abs( a - b ) = 2*max(a,b) - (a+b) = 2*max( a-b , 0) - (a - b)
представим функцию (мажорируемую абсолютно сходящимся рядом)
f(x)=SUM{k=1;oo} abs( x - r_k)/(3^k) =
= 2*SUM{k=1;oo} max( x - r_k, 0 ) / (3^k) - SUM{k=1;oo} (x - r_k) / (3^k) =
= 2*SUM{r_k < x} (x - r_k) / (3^k) - SUM{k=1;oo} (x - r_k) / (3^k)
рассмотрим
g(x) = SUM{r_k < x} (x - r_k) / (3^k)
обозначим
---------------------------------------------------------
g1(x,d)= (g(x+d)-g(x))/d где d>0
тогда
g1(x,d) = (g(x+d)-g(x))/d = (SUM{r_k < x+d } (x+d - r_k) / (3^k) - SUM{r_k < x } (x - r_k) / (3^k))/d =
= SUM{r_k < x+d } d / (d*3^k) + SUM{r_k < x+d } (x+d - r_k) / (d*3^k) - SUM{r_k < x } (x - r_k) / (d * 3^k)
= SUM{r_k < x + d} 1 / (3^k) + SUM{x <= r_k < x+d } (x - r_k) / (d * 3^k)
(!)
если x - иррациональное, то
SUM{x <= r_k < x+d } (x - r_k) / (d * 3^k)=SUM{x < r_k < x+d } (x - r_k) / (d * 3^k)
если x=r_q - рациональное, то
SUM{x <= r_k < x+d } (x - r_k) / (d * 3^k)=(r_q - r_q) / (d * 3^q) + SUM{x < r_k < x+d } (x - r_k) / (d * 3^k)=
=SUM{x < r_k < x+d } (x - r_k) / (d * 3^k)
(!)
пусть I{A} - индикатор множества A
тогда
g1(x,d) = SUM{r_k < x + d} 1 / (3^k) + SUM{x < r_k < x+d } (x - r_k) / (d * 3^k) =
= SUM{r_k < x} 1 / (3^k) + I{r_q=x}*1 / (3^q) + SUM{x < r_k < x + d} 1 / (3^k) + SUM{x < r_k < x+d } (x - r_k) / (d * 3^k)
переходим к пределу при d -> 0
первое слагаемое от d не зависит
второе слагаемое равно 0 если x иррационально и равно 1 / (3^q) если x=r_q
третье слагаемое:
зафиксируем eps>0
найдется K, такое что 1/(2*3^K)<eps.
величину d можно выбрать достаточно малую, чтобы в множестве
{x < r_k < x + d} не содержались рациональные числа с индексами k меньшими K
(таких чисел конечное количество), тогда
указанная сумма мажорируется остатком ряда
SUM{x < r_k < x + d} 1 / (3^k) <= SUM{k=K,oo} 1 / (3^k) = 1/(2*3^K)<eps
выбираем сколь угодно малые eps. Сумма стремится к 0
четвёртое слагаемое
abs(SUM{x < r_k < x+d } (x - r_k) / (d * 3^k))<=SUM{x < r_k < x + d} 1 / (3^k)
и следовательно тоже стремится к 0 с уменьшением d
таким образом
производная справа в точке x функции g(x) равна
SUM{r_k < x} 1 / (3^k) если x иррационально и
SUM{r_k < x} 1 / (3^k) + 1 / (3^q) если x=r_q
---------------------------------------------------------------
рассмотрим g2(x,d)=(g(x)-g(x-d))/d где d>0
тогда
g2(x,d) = (g(x)-g(x-d))/d = (SUM{r_k < x-d } (x-d - r_k) / (3^k) - SUM{r_k < x } (x - r_k) / (3^k))/d =
= SUM{r_k < x-d } d / (d*3^k) + SUM{r_k < x } (x-d - r_k) / (d*3^k) - SUM{r_k < x - d } (x - r_k) / (d * 3^k)
= SUM{r_k < x - d} 1 / (3^k) + SUM{x - d <= r_k < x } (x - r_k) / (d * 3^k) =
= SUM{r_k < x } 1 / (3^k) - SUM{x <= r_k < x - d} 1 / (3^k) + SUM{x - d <= r_k < x } (x - r_k) / (d * 3^k) =
= SUM{r_k < x } 1 / (3^k) - I{r_q=x}*1 / (3^q) - SUM{x < r_k < x - d} 1 / (3^k) + SUM{x - d <= r_k < x } (x - r_k) / (d * 3^k)
Рассуждаем аналогично как для g1 устремляя d к нулю
первое слагаемое при уменьшении d сохраняется
второе равно 0 для иррационального и -1 / (3^q) для рационального x=r_q
третье слагаемое стремится к 0
четвертое слагаемое мажорируется модулем третьего и стремится к нулю
таким образом производная функции g(x) слева равна
SUM{r_k < x} 1 / (3^k) если x иррационально и
SUM{r_k < x} 1 / (3^k) - 1 / (3^q) если x=r_q рациональное
получаем
что для иррациональных x функция g(x) дифференцируема (производная справа и слева совпадают)
а для рациональных нет.
и следовательно так же ведет себя функция f(x)= 2*g(x) - SUM{k=1;oo} (x - r_k) / (3^k)
(так как второе слагаемое представляет собою сумму равномерно сходящихся функций, дифференцируемых на отрезке, и ряд производных которых сходится)
вроде как доказал,
надеюсь нигде не ошибся  )
(Сообщение отредактировал ek 17 нояб. 2005 13:58)
(Сообщение отредактировал ek 17 нояб. 2005 14:04)
(Сообщение отредактировал ek 17 нояб. 2005 14:05)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 17 нояб. 2005 13:50 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Да! идея : надо рассмотреть производные слева и справа. В первом-появятся минусы, во втором- плюсы (в рациональных конечно)
(Сообщение отредактировал Genrih 17 нояб. 2005 13:03)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 17 нояб. 2005 13:58 | IP
|
|
ek
Удален
|
заодно и нашли производную f в иррацилональных
f'(x)=2*SUM{r_k < x} 1 / (3^k) - 1/2
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 17 нояб. 2005 14:05 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Я посмотрел только начало рассуждений , Ek. Хочу сам добить
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 17 нояб. 2005 14:11 | IP
|
|
Форум
Недифференцируемость в рациональных тчк функции в виде ряда
