Maxximus
Удален
|
    
Проще - вряд ли.
Более того, доказательство только для одного билета (сладкого яблока). В нашей же задаче яблок M штук. Поэтому доказательство будет даже более сложным, но суть та же.
Пусть всего N яблок, из них M сладких. Соответственно N-M кислых.
Обозначим C(n,m) - количество сочетаний из n по m.
Напомню, что величина X имеет гипергеометрическое распределение, если
P(X=x)=[C(M,x)*C(N-M,k-x)]/C(N,k)
Поскольку мы имеем распределение вероятностей, то
Sum([C(M,x)*C(N-M,k-x)]/C(N,k), 0<=x<=k) = 1
Математическое ожидание E[X]=k*(M/N)
Найдем вероятность вытащить сладкое яблоко для (k+1) - го человека. По формуле полной вероятности:
P(сл.ябл)=Sum( P(сл.ябл при условии, что до этого вытащено x сладких яблок) * P(до этого вытащено x сладких яблок), 0<=x<=k).
P(сл.ябл)=
Sum([C(M,x)*C(N-M,k-x)]/C(N,k)*(M-x)/(N-k), 0<=x<=k)=
Sum([C(M,x)*C(N-M,k-x)]/C(N,k)*M/(N-k), 0<=x<=k) -
Sum([C(M,x)*C(N-M,k-x)]/C(N,k)*x/(N-k), 0<=x<=k)
Sum([C(M,x)*C(N-M,k-x)]/C(N,k)*M/(N-k), 0<=x<=k)=
M/(N-k) * Sum([C(M,x)*C(N-M,k-x)]/C(N,k), 0<=x<=k)=
M/(N-k)
Sum([C(M,x)*C(N-M,k-x)]/C(N,k)*x/(N-k), 0<=x<=k) =
1/(N-k) * Sum([C(M,x)*C(N-M,k-x)]/C(N,k)*x, 0<=x<=k) =
k*(M/N)/(N-k)
Отсюда
P(сл.ябл)=M/(N-k)-k*M/[N*(N-k)]=
[M*(N-k)]/[N*(N-k)]=M/N
То есть вероятность не зависит от k, то есть от того, какое место занимал человек в очереди
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 21 июля 2004 1:21 | IP
|
|
igorp
Удален
|
Снимаю шляпу в восхищении!
Проще: добавим народу, чтобы было ровно N человек. Каждый по очереди берёт без возвращения и т.д. Весь процесс сводится к случайной перестановке из N яблок. Понятно, что все такие перестановки симметричны (равновероятны); и если я хочу, чтобы человек с конкретным номером получил сладкое яблоко, то выберем ему заранее сладкое яблоко (М вариантов), а остальные яблоки перемешаем как хотим ((N-1)! вариантов); получаем М*(N-1)! вариантов в числителе, и всё это надо поделить на N! - общее число перестановок, вот и получаем ответ М/N, независимо от номера очереди.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 21 июля 2004 2:06 | IP
|
|
Maxximus
Удален
|
Я решал в лоб, как бульдозер.
А нужно - немного смекалки! 
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 22 июля 2004 0:08 | IP
|
|
|
Форум
Важно ли место в очереди?
