Hotwire
Новичок
|
     
Доброго времени суток!
Ищу решение задачи про шар и налетающий на него поток электронов. Знаю, что такая задача была на на всеукраинской олимпиаде.
Вот условие
. Металлический шар радиусом R через катушку индуктивности L соединен с Землей . На него налетает пучок электронов, которые движутся из бесконечности. Най-ти максимальный заряд шара и построить график зависимости силы тока, который проходит через катушку, от времени. Считать, что сначала шар был незаряженным, плотность электронов в пучке n, а их скорость v << c, где c – скорость света. Взаимо-действием между электронами и влиянием на них поля шара пренебречь.
|
Всего сообщений: 21 | Присоединился: сентябрь 2007 | Отправлено: 4 марта 2008 11:27 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Не пробовали прорешать?
Не знаю... возможно где-то и ошибаюсь, но первое что пришло в голову:
Пусть в момент t шар имел заряд q(t), а сила тока через катушку была i(t).
За время dt шар получит заряд n*e*v*dt из пучка и потеряет заряд i*dt через катушку.
Здесь
e - заряд электрона,
v - скорость электронов в пучке.
Таким образом,
dq/dt = n*e*v - i.
Пусть в момент t шар имел потенциал (относительно Земли) u(t).
Как было показано выше, за время dt шар получит заряд (n*e*v - i)*dt что соответсвует потенциалу
du = (n*e*v - i)*dt/C на шаре (С - емкость шара).
С другой стороны,
u(t) = -L*(di/dt).
Эти 3 равенства позволяют написать диф. ур. для i и для q.
Их разрешение ответит на поставленные в задаче вопросы.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 5 марта 2008 15:27 | IP
|
|
Hotwire
Новичок
|
>>Не пробовали прорешать?
Пробовал конечно, но с ответом не сходится. Причем очень сильно
>>n*e*v*dt
Площадь пропущена.
Не пробовал пока расписывать ваши уравнения, но просто в ответе было написано, что возникнут колебания, а мое решение показывало, что на катушке нарастет ток и больше меняться не будет.
|
Всего сообщений: 21 | Присоединился: сентябрь 2007 | Отправлено: 8 марта 2008 16:27 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Да, о площади была мысль... но в условии она не дана, именно поэтому я просто предположил, что n - плотность частиц (электронов) на единицу длины.
Ну в принципе можно и домножить... глобально результат измениться не должен 
Очень может быть и возникнут колебания - разрешение дифф. уравнений всё должно показать.
(Сообщение отредактировал MEHT 10 марта 2008 2:32)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 9 марта 2008 13:53 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Небольшое уточнение к составлению уравнений.
Электроны несут отрицательный заряд, то дабы не было путаницы, лучше за e принять модуль заряда электрона. Направление тока, как известно, противоположно движению электронов. Поэтому, наверно, правильнее будет так:
Пусть в момент t шар имел заряд q(t), а сила тока через катушку была i(t).
За время dt шар получит отрицательный заряд -n*e*v*dt из пучка и приобретёт заряд i*dt через катушку.
Здесь
e - модуль заряда электрона,
v - скорость электронов в пучке.
Таким образом,
dq/dt = -n*e*v + i.
Пусть в момент t шар имел потенциал (относительно Земли) u(t).
Как было показано выше, за время dt шар получит заряд (-n*e*v + i)*dt что соответсвует потенциалу
du = (-n*e*v + i)*dt/C на шаре (С - емкость шара).
С другой стороны,
u(t) = -L*(di/dt).
Отсюда диффур для тока через катушку i(t):
i'' + i/(L*C) = n*e*v/(L*C).
Заряд найдётся из выражения:
q' = -n*e*v + i.
Штрихи обозначают дифференцирование по времени.
Решение для тока, удовлетворяющему нач. условию
i(0)=0, i'(0)=0 имеет вид
i(t) = n*e*v*{1 - cos[t/sqrt(L*C)]},
т.е. колебания тока будут.
Для заряда получим
q(t) =-n*e*v*sqrt(L*C)*sin[t/sqrt(L*C)],
откуда модуль максимального заряда на шаре
Q=n*e*v*sqrt(L*C).
(Сообщение отредактировал MEHT 9 марта 2008 18:02)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 9 марта 2008 17:57 | IP
|
|
Hotwire
Новичок
|
Спасибо за решение.
Ответ совпал.
(Сообщение отредактировал Hotwire 12 марта 2008 12:42)
|
Всего сообщений: 21 | Присоединился: сентябрь 2007 | Отправлено: 12 марта 2008 12:40 | IP
|
|
Hotwire
Новичок
|
Новая задачка
Маленькая капля падает, поглощая другие капли. При этом ускорение капли остается постоянным. Определите это ускорение.
Возьмем малый промежуток времени dt за который размер капли сильно не изменится
dm=dl*pi*r^2*n*m dl - путь пройденый каплей, r - радиус, n - концентрация, m - масса одной капли
dl=v*dt
Имеем
dm=v*dt*pi*r^2*m*n
dm/dt=v*pi*r^2*n*m
Определим увеличение радиуса капли
4*pi*r^2*dr*(ro)=n*m*dl*pi*r^2
После сокращений получаю
4*(ro)*dr=n*m*dl Радиус изменяется линейно от пройденного пути
d(mv)=Fdt
dm/dt*V=Mg М - масса большой капли, поглощающей остальные
M=4*pi*r^3*(ro)/3
Пользуясь тем, что капля маленькая, найдем ее радиус после прохождения пути l
r=nml/(4*(ro))
По условию задачи капля падает с постоянным ускорением, откуда l=a*t^2/2
r=n*m*a*t^2/(8*(ro))
Подставляем все полученные данные во второй закон Ньютона (dm/dt*V=Mg)
v*pi*r^2*n*m*v=4*pi*r^3*(ro)*g/3
После преобразований получаем
v^2*n*m=4*r*(ro)*g/3
Подставляем значение радиуса и скорости v=at
a^2*t^2*n*m=4*(ro)*g*n*m*a*t^2/(8*(ro)*3)
После очередных преобразований получаем
a=g/6
А сказано, что правильный ответ g/7
Помогите найти ошибку.
|
Всего сообщений: 21 | Присоединился: сентябрь 2007 | Отправлено: 16 марта 2008 21:11 | IP
|
|
Hotwire
Новичок
|
Может я чего непонятно написал?
|
Всего сообщений: 21 | Присоединился: сентябрь 2007 | Отправлено: 18 марта 2008 16:35 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Странно. Я вообще получил ответ g/3
(правда, априори предполагал, что увеличение радиуса не сказывается на последующие поглощения каплей других капель).
P.s. Чуть позже посмотрю подробнее.
(Сообщение отредактировал MEHT 20 марта 2008 9:00)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 20 марта 2008 8:59 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Если позволите, приведу немного другой алгоритм решения.
Пусть
j - объёмная массовая плотность падающей капли,
u - объёмная массовая плотность капельной среды,
a - искомое постоянное ускорение капли,
v = a*t - скорость капли.
Капля маленькая, следовательно её можно считать шарообразной. Тогда её масса будет
m = (4/3)*pi*j*(r^3), где
r - радиус капли.
В процессе движения капля будет поглощать из среды другие капли, её радиус будет увеличиваться, а следовательно будет некоторой функцией от времени t:
r=r(t).
Аналогично Вашим предыдущим выкладкам, можно сказать, что за малое время dt капля приобретёт массу
dm = v*pi*(r^2)*u*dt или
m'= (a*t)*pi*(r^2)*u. (1)
Штрих - дифференцирование по времени.
С другой стороны, дифференцируя по времени выражение для массы
m = (4/3)*pi*j*r^3
получаем
m' = [(4/3)*pi*j*(r^3)]' = [4*pi*j*(r^2)*(r')]. (2)
Приравнивая правые части (1) и (2) будем иметь
[4*pi*j*(r^2)*(r')] = (a*t)*pi*(r^2)*u, или, сокращая,
[4*j*(r')] = (a*t)*u,
r' = [(a*u)/(4*j)]*t. Интегрируя по времени, получим зависимость радиуса от времени:
r(t) = [(a*u)/(8*j)]*(t^2).
После того как была найдена зависимость r=r(t), можно непосредственно выписать зависимость массы капли от времени:
m(t) = {(4/3)*pi*j*[(a*u)/(8*j)]^3}*(t^6).
В фигурных скобках стоит некоторая константа, её можно обозначить за C, тогда
m(t) = C*t^6, где С=(4/3)*pi*j*[(a*u)/(8*j)]^3.
Итак, установлено, что масса зависит от времени как ~ t^6.
---
Теперь найдём m=m(t) разрешая уравнение Ньютона.
Импульс падающей капли
p = m*v = m*a*t.
Уравнение Ньютона для капли
m*g = p', или расписав,
m*g = m*a + (m')*a*t,
(g-a)/(a*t) = m'/m, далее интегрируем левую и правую части:
int{(g-a)*dt/(a*t)} = int {dm/m} + C1 или
m(t) = C*t^[(g-a)/a], где С - константа.
Сравнивая этот закон с ранее полученным, заключаем, что он полностью с ним совпадет в случае совпадения показателей степеней при t, т.е.
(g-a)/a = 6, откуда a=g/7.
(Сообщение отредактировал MEHT 23 марта 2008 18:24)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 23 марта 2008 18:07 | IP
|
|
|
Форум
Задачи олимпиад
