Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Физика
        Задачи олимпиад
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Физика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 ]
Модераторы: duplex, Roman Osipov, gvk
  

Hotwire



Новичок

Доброго времени суток!
Ищу решение задачи про шар и налетающий на него поток электронов. Знаю, что такая задача была на на всеукраинской олимпиаде.
Вот условие
. Металлический шар радиусом R через катушку индуктивности L соединен с Землей . На него налетает пучок электронов, которые движутся из бесконечности. Най-ти максимальный заряд шара и построить график зависимости силы тока, который проходит через катушку, от времени. Считать, что сначала шар был незаряженным, плотность электронов в пучке n, а их скорость v << c, где c – скорость света. Взаимо-действием между электронами и влиянием на них поля шара пренебречь.

Всего сообщений: 21 | Присоединился: сентябрь 2007 | Отправлено: 4 марта 2008 11:27 | IP
MEHT



Долгожитель

Не пробовали прорешать?
Не знаю... возможно где-то и ошибаюсь, но первое что пришло в голову:

Пусть в момент t шар имел заряд q(t), а сила тока через катушку была i(t).

За время dt шар получит заряд n*e*v*dt из пучка и потеряет заряд i*dt через катушку.
Здесь
e - заряд электрона,
v - скорость электронов в пучке.

Таким образом,
dq/dt = n*e*v - i.

Пусть в момент t шар имел потенциал (относительно Земли) u(t).
Как было показано выше, за время dt шар получит заряд (n*e*v - i)*dt что соответсвует потенциалу
du = (n*e*v - i)*dt/C на шаре (С - емкость шара).

С другой стороны,
u(t) = -L*(di/dt).

Эти 3 равенства позволяют написать диф. ур. для i и для q.
Их разрешение ответит на поставленные в задаче вопросы.

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 5 марта 2008 15:27 | IP
Hotwire



Новичок

>>Не пробовали прорешать?
Пробовал конечно, но с ответом не сходится. Причем очень сильно
>>n*e*v*dt
Площадь пропущена.
Не пробовал пока расписывать ваши уравнения, но просто в ответе было написано, что возникнут колебания, а мое решение показывало, что на катушке нарастет ток и больше меняться не будет.

Всего сообщений: 21 | Присоединился: сентябрь 2007 | Отправлено: 8 марта 2008 16:27 | IP
MEHT



Долгожитель

Да, о площади была мысль... но в условии она не дана, именно поэтому я просто предположил, что n - плотность частиц (электронов) на единицу длины.
Ну в принципе можно и домножить... глобально результат измениться не должен

Очень может быть и возникнут колебания - разрешение дифф. уравнений всё должно показать.


(Сообщение отредактировал MEHT 10 марта 2008 2:32)

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 9 марта 2008 13:53 | IP
MEHT



Долгожитель

Небольшое уточнение к составлению уравнений.

Электроны несут отрицательный заряд, то дабы не было путаницы, лучше за e принять модуль заряда электрона. Направление тока, как известно, противоположно движению электронов. Поэтому, наверно,  правильнее будет так:


Пусть в момент t шар имел заряд q(t), а сила тока через катушку была i(t).
За время dt шар получит отрицательный заряд -n*e*v*dt из пучка и приобретёт заряд i*dt через катушку.
Здесь
e - модуль заряда электрона,
v - скорость электронов в пучке.

Таким образом,
dq/dt = -n*e*v + i.

Пусть в момент t шар имел потенциал (относительно Земли) u(t).
Как было показано выше, за время dt шар получит заряд (-n*e*v + i)*dt что соответсвует потенциалу
du = (-n*e*v + i)*dt/C на шаре (С - емкость шара).

С другой стороны,
u(t) = -L*(di/dt).



Отсюда диффур для тока через катушку i(t):

i'' + i/(L*C) = n*e*v/(L*C).

Заряд найдётся из выражения:
q' = -n*e*v + i.

Штрихи обозначают дифференцирование по времени.

Решение для тока, удовлетворяющему нач. условию
i(0)=0, i'(0)=0 имеет вид
i(t) = n*e*v*{1 - cos[t/sqrt(L*C)]},
т.е. колебания тока будут.

Для заряда получим
q(t) =-n*e*v*sqrt(L*C)*sin[t/sqrt(L*C)],
откуда модуль максимального заряда на шаре
Q=n*e*v*sqrt(L*C).


(Сообщение отредактировал MEHT 9 марта 2008 18:02)

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 9 марта 2008 17:57 | IP
Hotwire



Новичок

Спасибо за решение.
Ответ совпал.


(Сообщение отредактировал Hotwire 12 марта 2008 12:42)

Всего сообщений: 21 | Присоединился: сентябрь 2007 | Отправлено: 12 марта 2008 12:40 | IP
Hotwire



Новичок

Новая задачка
Маленькая капля падает, поглощая другие капли. При этом ускорение капли остается постоянным. Определите это ускорение.

Возьмем малый промежуток времени dt за который размер капли сильно не изменится
dm=dl*pi*r^2*n*m   dl - путь пройденый каплей, r - радиус, n - концентрация, m - масса одной капли
dl=v*dt
Имеем
dm=v*dt*pi*r^2*m*n

dm/dt=v*pi*r^2*n*m

Определим увеличение радиуса капли
4*pi*r^2*dr*(ro)=n*m*dl*pi*r^2
После сокращений получаю
4*(ro)*dr=n*m*dl Радиус изменяется линейно от пройденного пути

d(mv)=Fdt
dm/dt*V=Mg М - масса большой капли, поглощающей остальные
M=4*pi*r^3*(ro)/3
Пользуясь тем, что капля маленькая, найдем ее радиус после прохождения пути l
r=nml/(4*(ro))
По условию задачи капля падает с постоянным ускорением, откуда l=a*t^2/2
r=n*m*a*t^2/(8*(ro))
Подставляем все полученные данные во второй закон Ньютона (dm/dt*V=Mg)

v*pi*r^2*n*m*v=4*pi*r^3*(ro)*g/3
После преобразований получаем
v^2*n*m=4*r*(ro)*g/3
Подставляем значение радиуса и скорости v=at
a^2*t^2*n*m=4*(ro)*g*n*m*a*t^2/(8*(ro)*3)
После очередных преобразований получаем
a=g/6
А сказано, что правильный ответ g/7
Помогите найти ошибку.

Всего сообщений: 21 | Присоединился: сентябрь 2007 | Отправлено: 16 марта 2008 21:11 | IP
Hotwire



Новичок

Может я чего непонятно написал?

Всего сообщений: 21 | Присоединился: сентябрь 2007 | Отправлено: 18 марта 2008 16:35 | IP
MEHT



Долгожитель

Странно. Я вообще получил ответ g/3
(правда, априори предполагал, что увеличение радиуса не сказывается на последующие поглощения каплей других капель).

P.s. Чуть позже посмотрю подробнее.


(Сообщение отредактировал MEHT 20 марта 2008 9:00)

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 20 марта 2008 8:59 | IP
MEHT



Долгожитель

Если позволите, приведу немного другой алгоритм решения.

Пусть
j - объёмная массовая плотность падающей капли,
u - объёмная массовая плотность капельной среды,
a - искомое постоянное ускорение капли,
v = a*t - скорость капли.

Капля маленькая, следовательно её можно считать шарообразной. Тогда её масса будет
m = (4/3)*pi*j*(r^3), где
r - радиус капли.

В процессе движения капля будет поглощать из среды другие капли, её радиус будет увеличиваться, а следовательно будет некоторой функцией от времени t:
r=r(t).

Аналогично Вашим предыдущим выкладкам, можно сказать, что за малое время dt капля приобретёт массу
dm = v*pi*(r^2)*u*dt или
m'= (a*t)*pi*(r^2)*u.                                                 (1)
Штрих - дифференцирование по времени.

С другой стороны, дифференцируя по времени выражение для массы
m = (4/3)*pi*j*r^3
получаем
m' = [(4/3)*pi*j*(r^3)]' = [4*pi*j*(r^2)*(r')].                  (2)

Приравнивая  правые части (1) и (2) будем иметь
[4*pi*j*(r^2)*(r')] = (a*t)*pi*(r^2)*u, или, сокращая,
[4*j*(r')] = (a*t)*u,
r' = [(a*u)/(4*j)]*t. Интегрируя по времени, получим зависимость радиуса от времени:

r(t) = [(a*u)/(8*j)]*(t^2).

После того как была найдена зависимость r=r(t), можно непосредственно выписать зависимость массы капли от времени:

m(t) = {(4/3)*pi*j*[(a*u)/(8*j)]^3}*(t^6).
В фигурных скобках стоит некоторая константа, её можно обозначить за C, тогда
m(t) = C*t^6, где С=(4/3)*pi*j*[(a*u)/(8*j)]^3.
Итак, установлено, что масса зависит от времени как ~ t^6.

---

Теперь найдём m=m(t) разрешая уравнение Ньютона.
Импульс падающей капли
p = m*v = m*a*t.
Уравнение Ньютона для капли
m*g = p', или расписав,
m*g = m*a + (m')*a*t,
(g-a)/(a*t) = m'/m, далее интегрируем левую и правую части:

int{(g-a)*dt/(a*t)} = int {dm/m} + C1 или

m(t) = C*t^[(g-a)/a], где С - константа.

Сравнивая этот закон с ранее полученным, заключаем, что он полностью с ним совпадет в случае совпадения показателей степеней при t, т.е.
(g-a)/a = 6, откуда a=g/7.

(Сообщение отредактировал MEHT 23 марта 2008 18:24)

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 23 марта 2008 18:07 | IP

Отправка ответа:
Имя пользователя   Вы зарегистрировались?
Пароль   Забыли пароль?
Сообщение

Использование HTML запрещено

Использование IkonCode разрешено

Смайлики разрешены

Опции отправки

Добавить подпись?
Получать ответы по e-mail?
Разрешить смайлики в этом сообщении?
Просмотреть сообщение перед отправкой? Да   Нет
 

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com