Форум - Задачи по физике для вузов [2]

Форум	» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация \| Профиль \| Войти \| Забытый пароль \| Присутствующие \| Справка \| Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация

	Форум Физика Задачи по физике для вузов
	Отметить все сообщения как прочитанные [ Помощь ] » Добро пожаловать на форум "Физика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>

Несколько страниц [ 1 2 3 ]
Модераторы: duplex, Roman Osipov, gvk

MEHT

Долгожитель
Мне думается, что приравнивать к нулю ускорение было бы неправильным. Соотношение a = А - ВV² уже само по себе задаёт закон движения, поскольку ускорение представляет собой производную по времени от скорости.
От этого равенства и станцуем.
Для нахождения скорости следует решить дифференциальное уравнение

$\dot{v}=a-bv^2$

(точкой обозначено дифференцирование по времени t; параметры A и B заменил строчными буквами, дабы смотрелось неброско)

Его можно сразу же и проинтегрировать, разделив переменные

$\int \frac{\textrm{d} v}{a-bv^2}=t+\textrm{const}$

и, покуда a и b положительны,

$\\ -\frac{1}{2\sqrt{ab}}\ln\left | \frac{v-\sqrt{\frac{a}{b}}}{v+\sqrt{\frac{a}{b}}} \right | = t+\textrm{const}\, , \\\\\\ 1-\frac{2\sqrt{\frac{a}{b}}}{v+\sqrt{\frac{a}{b}}}=Ce^{-2\,t\sqrt{ab}}\, , \\\\\\ v=-\sqrt{\frac{a}{b}} \ + \frac{2\sqrt{\frac{a}{b}}}{1 - Ce^{-2\,t\sqrt{ab}}}\, .$

Константу C выражаем из условия равенства нулю начальной скорости v(0)=0; в этом случае C=-1 и закон скорости

$v\left ( t \right )=-\sqrt{\frac{a}{b}} \ + \frac{2\sqrt{\frac{a}{b}}}{1 + e^{-2\,t\sqrt{ab}}}\,.$

Вы можете видеть, что экспонента при больших временах будет давать ничтожно малое значение, поэтому скорость почти постоянна. Однако строгого постоянства скорости начиная с некоторого момента времени после начала движения (что свидетельствовало бы об обнулении ускорения) нет.

(Сообщение отредактировал MEHT 16 апр. 2012 9:00)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 16 апр. 2012 8:52 | IP

and27

Новичок
А путь тогда найти через диф уравнение, расписав время как dV/dt?

Всего сообщений: 23 | Присоединился: апрель 2012 | Отправлено: 16 апр. 2012 9:42 | IP

MEHT

Долгожитель
Нет. Нужно проинтегрировать v=v(t) по времени:

$s\left ( t \right )=\int\limits_{0}^{t}v\left ( \tau \right )d\tau = -\sqrt{\frac{a}{b}}\ t \ + \, \frac{1}{b} \, \ln\left ( \frac{1+e^{2\,t\sqrt{ab}}}{2} \right ) = \sqrt{\frac{a}{b}}\ t \ + \, \frac{1}{b} \, \ln\left ( \frac{1+e^{-2\,t\sqrt{ab}}}{2} \right )$

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 16 апр. 2012 11:10 | IP

MEHT

Долгожитель
Перепроверьте на всякий случай. Невзначай мог и ошибится.

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 16 апр. 2012 11:12 | IP

and27

Новичок
А можно остановиться на втором выражении, когда у нас есть зависимость времени от скорости и найти константу?

Всего сообщений: 23 | Присоединился: апрель 2012 | Отправлено: 16 апр. 2012 11:43 | IP

and27

Новичок
Если в начальный момент времени t=0, то и путь должен быть раен нулю. Но из последнего выражения путь равен некоторой величине. Она ничтожна мала, если b большое число, но тем немение...прокоментируйте.

Всего сообщений: 23 | Присоединился: апрель 2012 | Отправлено: 16 апр. 2012 12:49 | IP

MEHT

Долгожитель

Цитата: and27 написал 16 апр. 2012 11:43
А можно остановиться на втором выражении, когда у нас есть зависимость времени от скорости и найти константу?

А какой смысл? Это константа в промежуточных выкладках. Цель была найти скорость как функцию времени, разрешив соответствующее диф. уравнение.

Цитата: and27 написал 16 апр. 2012 12:49
Если в начальный момент времени t=0, то и путь должен быть раен нулю. Но из последнего выражения путь равен некоторой величине. Она ничтожна мала, если b большое число, но тем немение...прокоментируйте.

А он нулю и равен С чего Вы взяли что это не так?
В первом члене понятно - он линеен по t; во втором члене экспонента в нулевой степени даст единицу, всё выражение под знаком логарифма следовательно тоже единица, ну а логарифм единицы 0.

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 16 апр. 2012 15:55 | IP

MEHT

Долгожитель
Вы спрашивали:
Если ускорение тела непостоянно и имеет закон изменения а = А - ВV² (V - в квадрате). Как здесь определить время при котором движение станет равномерным и какой путь при это тело пройдет?

Ответ следует из зависимости v=v(t). В сущности движение никогда не будет равномерным - такое движение предполагало бы постоянство скорости, чего никогда нет. Эта скорость лишь будет асимптотически сремится к $\sqrt{\frac{a}{b}}$ при $t \to \infty$ . Физически это означает, что по прошествии достаточно большого времени движение станет практически равномерным.
Другое дело если Вы укажете степень точности, с которой измерятеся скорость. В этом случае можно указать нижнюю границу для такого момента времени t, после которого поправка к скорости будет сравнима с допустимой погрешностью её измерения.

Для пути также получена формула зависимости от времени. Первый член в этой формуле линеен по времени t; второй, нелинейный член, при больших t практически не зависит от времени и равен постоянной $-\frac{\ln2}{b}$ . Физически можно было бы сказать, что в начале своего движения тело двигалось неравномерно; по прошествии большого количества времени зависимость пройденного пути от времени практически "выродилась" в линейную:
$s\left ( t \right ) \simeq \sqrt{\frac{a}{b}}\ t \ - \frac{\ln2}{b}.$

(Сообщение отредактировал MEHT 16 апр. 2012 16:18)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 16 апр. 2012 16:18 | IP

ellina1111

Новичок
ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ЗАДАЧУ ПОЖАЛУЙСТА!!! уходящие газы котельной установки проходят через воздухоподогреватель. начальная температура газов 300 градусов, конечная 141 градус. расход гахов равен 1090 кг\ч. начальная температура воздуха 15 градусов, а расход его равен 990 кг\ч. определить температуру нагретого воздуха если потери тепла в воздухоподогревателе составляет 4%. среднии теплоёмкости для газов и воздуха принять равными 1,0467 и 1,0048.

Всего сообщений: 1 | Присоединился: апрель 2012 | Отправлено: 16 апр. 2012 17:48 | IP

and27

Новичок

Цитата: MEHT написал 16 апр. 2012 15:55
Цитата: and27 написал 16 апр. 2012 11:43
А можно остановиться на втором выражении, когда у нас есть зависимость времени от скорости и найти константу?

А какой смысл? Это константа в промежуточных выкладках. Цель была найти скорость как функцию времени, разрешив соответствующее диф. уравнение.

Цитата: and27 написал 16 апр. 2012 12:49
Если в начальный момент времени t=0, то и путь должен быть раен нулю. Но из последнего выражения путь равен некоторой величине. Она ничтожна мала, если b большое число, но тем немение...прокоментируйте.

А он нулю и равен С чего Вы взяли что это не так?
В первом члене понятно - он линеен по t; во втором члене экспонента в нулевой степени даст единицу, всё выражение под знаком логарифма следовательно тоже единица, ну а логарифм единицы 0.

А если мне нужна зависимость времени от скорости, я могу пользоваться вторым уравнениям?

Всего сообщений: 23 | Присоединился: апрель 2012 | Отправлено: 16 апр. 2012 19:10 | IP

Эта тема закрыта, новые ответы не принимаются

Переход к теме
<< Назад Вперед >> Несколько страниц [ 1 2 3 ]