Ferra
Новичок
|
    
если у меня есть следующий ряд:
1/a + 1/a+d +1/a+2d + ... + 1/a+nd
где a, n, d - из N.
нужно выяснить, найдутся ли такие натуральные числа, что сумма также будет натуральной. (то есть фактически доказать что натуральной она не является).
есть у кого идеи, решение? Заранее спасибо.
|
Всего сообщений: 3 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 15 нояб. 2008 0:33 | IP
|
|
Roman Osipov 
Долгожитель
|
   
Это сумма первых (n+1) членов арифметической прогрессии вида {(1/a)+k*d}, k=0,1,...,n, причем a и d натуральные числа.
Она равна:
(1/a) + (1/a)+d +(1/a)+2d + ... + (1/a)+nd=
=((n+1)/a)+d*n(n+1)/2.
Исходя из этой записи следует, что сумма будет целой, если (n+1) делится на a без остатка (выражение d*n(n+1)/2 всегда будет целым при целых d, так как число n(n+1) четное всегда).
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 15 нояб. 2008 18:43 | IP
|
|
Ferra
Новичок
|
Я извиняюсь, неправильно написал условие. Исходный ряд имеет вид
1/a + 1/(a +d) + ... + 1/(a + n*d)
|
Всего сообщений: 3 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 15 нояб. 2008 19:36 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
Рассмотрите функцию f(x)=SUMM(k=0,1,...,n)(1/(x+k*d)), тогда, если ввести функцию W(x)=ln(x(x+d)(x+2d)...(x+nd)), тогда легко увидеть, что: f(x)=dW(x)/dx.
Отсюда можно получить требуемое.
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 16 нояб. 2008 17:10 | IP
|
|
Ferra
Новичок
|
Идея конечно интересная, я по другому пути шел, но неудачно.
можно немножко подробнее, откуда мы получим требуемое?
|
Всего сообщений: 3 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 19 нояб. 2008 10:49 | IP
|
|
|
Форум
Числовой ряд
