looser
Участник
|
     
1)Какое наименьшее значение принимает (cosx+cosy+cosz), если sinx+siny+sin>=корню из 5
2)Вычислить log2(sin1*sin3*...*sin89) Здесть цифры в градусах, 2-основание логарифма.
Буду благодарна за любые подсказки и намеки.
|
Всего сообщений: 116 | Присоединился: март 2007 | Отправлено: 9 янв. 2008 14:43 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
1) Введем обозначения:
a=sin(x), b=sin(y), c=sin(z)
f = (cosx+cosy+cosz) = +- sqrt(1 - a^2) +- sqrt(1 - b^2) +- sqrt(1 - c^2).
Таким образом нужно найти наименьшее значение f при a+b+c >= sqrt(5).
Т.к. требуется минимизировать f, то целесообразно у каждого из слагаемых в f выбрать знаки минусы:
f =-[sqrt(1 - a^2) + sqrt(1 - b^2) + sqrt(1 - c^2)].
Теперь положим a=b=c=sqrt(5)/3. Тогда f=-2.
Это по сути дела уже и есть минимальное значение f.
Осталось доказать что это так.
Для этого в согласии с наложенным неравенством будем менять, например, a и b, замечая при этом, что f будет при этом расти. Однако этот путь доказательства довольно громозкий.
Лучше, как мне кажется, пойти стандартными методами - исследовать на экстемумы функцию трёх переменных
f=f(a,b,c)=-[sqrt(1 - a^2) + sqrt(1 - b^2) + sqrt(1 - c^2)]
на области заданной неравенством a+b+c >= sqrt(5), причём
-1 <= a <= 1,
-1 <= b <= 1,
-1 <= c <= 1.
2) Тут по-видимому нужно вычислять численно.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 10 янв. 2008 5:55 | IP
|
|
looser
Участник
|
Спасибо огромное, особенно за оперативность!
1)Как исследовать на экстремумы функцию трех переменных? Задача школьная, и это не должно быть оч сложно, просто я не знаю как это. Хоть в общих чертах?
2) Численно. Но не на калькуляторе. Все должно как-то упроститься и в итоге красивая цифирка.
|
Всего сообщений: 116 | Присоединился: март 2007 | Отправлено: 10 янв. 2008 16:02 | IP
|
|
Roman Osipov 
Долгожитель
|
  
Речь о градусах или радианах (sin1*sin3*...*sin89)?
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 10 янв. 2008 20:30 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Речь о градусах или радианах (sin1*sin3*...*sin89)?
О градусах.
2) Численно. Но не на калькуляторе. Все должно как-то упроститься и в итоге красивая цифирка.
Тут можно наметить два пути.
Либо произведение подлогарифмического произведения заменить на сумму логарифмов, содержащую 45 слагаемых.
Либо по формуле
sin(a)*sin(b) = (1/2)*[cos(a-b) - cos(a+b)]
преобразовать сомножители
sin(1°)*sin(89°), sin(3°)*sin(87°), ..., sin(43°)*sin(47°)
в результате придём к логарифму от суммы косинусов.
Дальше видимо придётся использовать всяческие приближения.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 10 янв. 2008 21:24 | IP
|
|
looser
Участник
|
Неа, все получилось)))
Под логарифмом:вторую половину синусов (после 45) превращаем в косинусы. Будет произведение синусов 1, 3,...,43, 45 градусов и еще умножить на произведение косинусов 1,3,...,43 градусов. Перемножаем попарно синус-косинус, получаем (формула син двойного угла) син2*син6*син10*...*син86*(1/2)^22(т.к.22 пары) *син45
Син45, понятно, 2^(-1/2), короче двойки эти все вынесутся из логарифма, сделавшись числом. -22,5
Осталось син2*син6*...*син86=кос4*кос8*кос12*...*кос88=(кос2*кос4*кос6*кос8*кос10* ...*кос86*кос88)/(кос2*кос6*кос10*...*кос86). Перемножаем в числителе косинусы первый-последний, второй-предпоследний... все косинусы сумм равны нулю (все суммы 90), овтаются косинусы разностей и коэф. 2^-22.Получаем
(кос86*кос82*...*кос2)/(кос2*...*кос82*кос86)=1. Логарифм 0, вот и всё. Осталось только -22,5-22=-44,5.
Спасибо.
|
Всего сообщений: 116 | Присоединился: март 2007 | Отправлено: 10 янв. 2008 22:17 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
красиво
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 10 янв. 2008 22:43 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Браво! Отличное решение! 
Вы просто умничка!
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 10 янв. 2008 23:39 | IP
|
|
cyradin
Новичок
|
мне срочно нужен решебник сканави 3 и 8 глава!!!!! спасите я в тригонометрии не рублю совсем!!!
|
Всего сообщений: 4 | Присоединился: январь 2008 | Отправлено: 19 янв. 2008 19:32 | IP
|
|
alex142
Полноправный участник
|
|
Всего сообщений: 158 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 23 янв. 2008 11:25 | IP
|
|
|
Форум
Тригонометрия
