Бесплатный онлайн решебник Яблонского. Выберите задание и номер варианта для просмотра решения. Смотрите также способы и примеры решения задач в разделе основные теоремы динамики.
Задание Д.7. Применение теоремы о движении центра масс к исследованию движения механической системы
Тела 1 и 2 (рис. 140–142) движутся по отношению к телу 3 с помощью механизмов, установленных на этом теле (силы, приводящие в движение механизмы, являются внутренними силами данной механической системы). Тело 3 находится на горизонтальной плоскости.
1. Предполагая горизонтальную плоскость гладкой, определить зависимость между перемещением s3=s3(t) тела 3 и относительным перемещением s1r=s1r(t) тела 1 (по отношению к телу 3), если механическая система в начале рассматриваемого движения (t=0) находилась в состоянии покоя, причем s1r0=s2r0=s30=0; определить величину горизонтальной составляющей реакции Rx одного из упоров, которые удерживали бы тело 3 от перемещения.
2. Предполагая горизонтальную плоскость шероховатой, написать дифференциальное уравнение движения тела 3; определить условие, при котором тело 3 (при заданных параметрах системы) придет в движение, и найти зависимость между s3(t) и s1r(t), считая, что дальнейшее движение происходит при соблюдении этого условия (при t=0 s'1r0=s'22r0=s'30=0, s1r0=s2r0=s30=0).
Известны: m1, m2 – массы тел 1 и 2; m3 – масса тела 3 с находящимися на нем механизмами привода (центр масс C3 по отношению к телу 3 не перемещается); R, r – радиусы больших и малых окружностей тел 1 и 2 или звеньев A и B механизмов привода; α, β – углы наклона граней призм (тел 3) и лент транспортеров к горизонтальной плоскости; fсц, f – коэффициенты трения покоя (сцепления) и трения скольжения соответственно, принимаемые одинаковыми во всех вариантах: fсц=0,11, f=0,10; s1r=s1r(t) – непрерывная и возрастающая функция времени (ее производная тоже непрерывна и возрастает).
Качение тел происходит без проскальзывания; нити невесомы и нерастяжимы.
На схемах тела 1, 2, 3 – в отклоненных от начального (t=0) положениях; показаны относительные перемещения s1r, s2r тел 1 и 2 и предполагаемое абсолютное перемещение s3 тела 3 в сторону возрастания этих перемещений. Необходимые для решения данные приведены в табл. 43. Массой зубчатой рейки (варианты 1, 6, 7, 14, 15, 20, 22, 29) пренебречь.
Задание Д.8. Применение теоремы об изменении количества движения к исследованию движения механической системы
Механическая система (рис. 144–146) состоит из тел 1, 2, 3 с массами соответственно m1, m2 и m3. Массами остальных тел, составляющих систему, пренебречь.
На тело 1 наложены две связи. Опора A препятствует перемещению по нормали к опорным поверхностям (по вертикали). Опора B не препятствует перемещениям по вертикали и горизонтали, но исключает возможность поворота.
В некоторый момент времени (принятый за начальный), когда скорость тела 1 равна v0, а угловая скорость тела 2 – ω20, движение тел 2 и 3 относительно тела 1 начинает замедляться (направление вращения тела 2 и направление скорости v0 показаны на рис. 144–146). Торможение осуществляется внутренними для всей системы силами. Устройство, осуществляющее торможение, на схемах не показано. В процессе торможения угловое ускорение ε2 (замедление) тела 2 остается постоянным.
Определить скорость vт тела 1 в тот момент времени, когда ω2 становится равным нулю, т. е. относительное движение тел 2 и 3 прекращается. Вычисление vт произвести для одного из следующих условий:
а) на тело 1 со стороны направляющих A действует сила кулоновского (сухого) трения F=-f|N|v/|v| (f – коэффициент трения скольжения, |N| - модуль реакции в точке A);
б) на тело 1 кроме силы трения скольжения F в опоре A действует сила «вязкого» трения R со стороны опоры B: R=-bv (b – коэффициент «вязкого» сопротивления, v – вектор скорости тела 1).
Вычисление vт произвести точно и приближенно. В приближенном расчете пренебречь величинами первого и более высоких порядков малости относительно промежутка времени Т=ω20/ε2.
Для всех вариантов принять v0=2 м/с; ω20=10 рад/с, ε2=250 рад/с2; f=0,25; b=10 Н*с/м.
Считать, что проскальзывание колес по соответствующим поверхностям отсутствует.
Необходимые для расчета данные приведены в табл. 44.
Задание Д.9. Применение теоремы об изменении кинетического момента к определению угловой скорости твердого тела
Тело H массой m1 вращается вокруг вертикальной оси z с постоянной угловой скоростью ω0; при этом в точке O желоба AB тела H на расстоянии AO от точки A, отсчитываемом вдоль желоба, находится материальная точка K массой m2. В некоторый момент времени (t=0) на систему начинает действовать пара сил с моментом Mz=Mz(t). При t=τ действие сил прекращается.
Определить угловую скорость ωτ тела H в момент t=τ.
Тело H вращается по инерции с угловой скоростью ωτ.
В некоторый момент времени t1=0 (t1 – новое начало отсчета времени) точка K (самоходный механизм) начинает относительное движение из точки O вдоль желоба AB (в направлении к B) по закону OK=s=s(t1).
Определить угловую скорость ωT тела H при t1=T.
Тело H рассматривать как однородную пластинку, имеющую форму, показанную на рис. 148–150. Необходимые для решения данные приведены в табл. 45–46.
Примечание. Знак минус перед Mz и ω соответствует направлению вращения часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси z.
Задание Д.10. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы
Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя; начальное положение системы показано на рис. 152–154. Учитывая трение скольжения тела 1 (варианты 1–3, 5, 6, 8–12, 17–23, 28–30) и сопротивление качению тела 3, катящегося без скольжения (варианты 2, 4, 6–9, 11, 13–15, 20, 21, 24, 27, 29), пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s.
В задании приняты следующие обозначения: m1, m2, m3, m4 – массы тел 1, 2, 3, 4; R2, r2, R3, r3 – радиусы больших и малых окружностей; i2x, i3ξ – радиусы инерции тел 2 и 3 относительно горизонтальных осей, проходящих через их центры тяжести; α, β – углы наклона плоскостей к горизонту; f – коэффициент трения скольжения; δ – коэффициент трения качения.
Необходимые для решения данные приведены в табл. 47. Блоки и катки, для которых радиусы инерции в таблице не указаны, считать сплошными однородными цилиндрами.
Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям.
Задание Д.11. Исследование поступательного и вращательного движений твердого тела
Механическая система состоит из механизма (колес 1 и 2) и груза 3.
К колесу 1 приложена пара сил с моментом M=M(t) (движущий момент) или движущая сила P=P(t).
Время t отсчитывается от некоторого момента (t=0), когда угловая скорость колеса 1 равна ω10. Момент сил сопротивления ведомого колеса 2 равен Mc. Другие силы сопротивления движению системы не учитывать.
Массы колес 1 и 2 равны m1 и m2, а масса груза 3 – m3.
Радиусы больших и малых окружностей колес R1, r1, R2, r2.
Схемы механических систем показаны на рис. 156–158, а необходимые для решения данные приведены в табл. 48.
Найти уравнение движения тела системы, указанного в последней графе табл. 48.
Определить также натяжение нитей в заданный момент времени, а в вариантах, где имеется соприкасание колес 1 и 2, найти, кроме того, окружное усилие в точке их касания. Колеса 1 и 2, для которых радиусы инерции ix1 и ix2 в табл. 48 не заданы, считать сплошными однородными дисками.
Задание Д.12. Исследование плоского движения твердого тела
Определить значение постоянной силы P под действием которой качение без скольжения колеса массой m носит граничный характер, т. е. сцепление колеса с основанием находится на грани срыва.
Найти также для этого случая уравнение движения центра масс колеса C, если в начальный момент времени его координата xC0=0 и скорость vC0=0.
Варианты задания показаны на рис. 160–162, а необходимые для решения данные приведены в табл. 49.
В задании приняты следующие обозначения: iC – радиус инерции колеса относительно центральной оси, перпендикулярной его плоскости; R и r – радиусы большой и малой окружностей; fсц – коэффициент сцепления (коэффициент трения покоя); δ – коэффициент трения качения.
Примечание. Колеса, для которых радиусы инерции не указаны, считать сплошными однородными дисками.