undeddy
Долгожитель
|
     
Имеет ли фун-ия y = x^2 обратную функцию на множестве неположительных действительных чисел, и если имеет, то какую?
|
Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 29 нояб. 2006 13:17 | IP
|
|
codename47
Новичок
|
КРАТКИЙ ОТВЕТ: Да, 1) При f(x)=x^2, для x>0, x=0 обратная будет g(x)=x^(0.5) (только в точке x=0) 2) При f(x)=x^2, для x<0, x=0 обратная будет g(x)=-x^(0.5) (во всех точках заданного промежутка (-oo;0])
ОТВЕТ ПОБОЛЬШЕ:
Я считаю (ну меня так учили + мои некоторые дополнения), что f(x)=x^2 может иметь обратную функцию на «множестве неположительных действительных чисел» (это ваши слова), в двух случаях.
1) f(x)=x^2, для x>0, x=0 (правая ветвь параболы, включая вершину). Тогда обратная функция на множестве НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ действительных чисел будет некая g(x)=x^(0.5) или что то же самое g(x)=sqrt(x). Вы спрашивали «на множестве неположительных действительных чисел» => на (-oo;0] , значит в этом случае функция будет иметь обратную только в одной точке (0;0) с абсциссой x=0
2) f(x)=x^2, для x<0, x=0 (левая ветвь параболы, включая вершину). Тогда эта функция на ВАШЕМ множестве будет иметь обратную во всех точках ВАШЕГО промежутка g(x)=-sqrt(x),
Из этого видно что обратная функция на указанном вами промежутке есть или g(x)=x^(0.5) или g=-x^(0.5)
Но в чем же дело?(это риторический вопрос )). В учебниках пишут ,что график обратной функции, это график функции, который получается путем симметричного отображения графика начальной функции относительно прямой y=x. В тех случаях, которые указаны у меня, это и будет выполняться. Но ведь y=x^2 определена на всех действительных числах и почему бы не получить график обратной функции на всей области определения(-oo;+oo)
Просто отобразив его симметрично относительно y=x. Получится некая порабола, отличающаяся от нам привычной тем, что она будет повернута на угол –p/2=-90 градусов (знак «-» говорит о вращении по часовой стрелке) относительно оси, проходящей через начало координат перпендикулярно плоскости 0XY. Казалось бы почему это не есть график нужной нам функции. Дело в определении ФУНКЦИИ. ФУНКЦИЯ - это такое соответствие (зависимость) между x и y, каждому значению x ставится ТОЛЬКО ОДНО значение у, в свою очередь каждому значению у может ставится бесчисленное множество x. Значит тот график который мы получили не может являться графиком ФУНКЦИИ т.к на пересечении с какой либо абсциссой не равной нулю будет вырисовываться ДВА значения у. Вследствие деления области определения начальной функции определение ФУНКЦИИ будет выполняться
Но всеже график, который у нас получился можно назвать графиком УРАВНЕНИЯ y^2=x или, что тоже самое y=+/-sqrt(x), т.к в определении УРАВНЕНИЯ каждому x ставится бесчисленное количество y и наоборот.
|
Всего сообщений: 32 | Присоединился: август 2006 | Отправлено: 29 нояб. 2006 19:13 | IP
|
|
undeddy
Долгожитель
|
Благодарю.
|
Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 29 нояб. 2006 20:37 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
unbeddy, конечно можно. Посмотрите, что для етого надо: биективность, которая имеется (парабола в левой полуплоскости), значит обратная существует.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 30 нояб. 2006 11:38 | IP
|
|
sms
Удален
|
Где строго монотонна-там и есть обратная. Если промежутков монотонности несколько, то и обратных несколько, каждая на своём промежутке монотонности.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 1 дек. 2006 22:46 | IP
|
|
|
Форум
Вопрос об обратной функции
