glupyj2kursnik
Удален
|
    
Сумма счётного-ряд, а несчётного?
Я доказал, что sup конечных сумм, а тем более рядов,
с членами из этого множества будет конечен только в том случае, если в этой несчётной сумме все слагаемые нули, кроме, быть может, счётного числа. Печально и неинтересно... Может как-то по другому? Только не надо предлагать какой-нибудь интеграл: я хочу чтобы понятие этой суммы было первичнее. Может потом с помощью него новый интеграл получится определить...
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 20 мая 2004 9:46 | IP
|
|
Feuerbach
Удален
|
Похоже, это действительно так.
Пусть есть некоторое множество M, card M > Алеф0. Рассмотрим множество N конечных сумм M, sup N = s. Очевидно, что если добавить в M некое действительное число t, то s тоже увеличиться на t. Откуда следует, что при исключении t из M s уменьшится на t.
Поскольку s = sup N, то существует последовательность конечных сумм M сходящаяся к s, то есть в M существует ряд K, сходящийся к s. Рассмотрим множество M\K. Несложно строго доказать (от противного), что sup частичных сумм равен 0. Откуда и следует высказанное Вами предположение.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 21 мая 2004 11:57 | IP
|
|
glupyj2kursnik
Удален
|
Вообще то это было не предположение, я доказал:
Пусть есть некоторое множество card M > Алеф0.
На нём задана положительная (нули при исследуемом определении всё равно на sup не влияют) функция
f:M->R
Если f(M) конечно или счётно, то какое-то значение принимается несчётное число раз (иначе M оказалось бы счётным) и беря его в качестве слагаемого сколько угодно раз получим, что sup конечных сумм бесконечен.
Если же f(M) несчёто, то оно имеет по крайней мере две различные предельные точки, одна из которых отлична от нуля. Беря слагаемые из её окрестности опять получим sup=+inf.
Пытаясь подобрать подходящее определение такой сумме, я пришёл к необходимости различать суммы расходящихся рядов с неотрицательными членамию: некоторые ряды расходятся к ней быстро, а некоторые медленно. Был бы рад прочитать предложения по поводу того, как их различать.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 22 мая 2004 7:39 | IP
|
|
|
Форум
Сумма несчётного числа неотрицательных слагаемых
