Questioner2006
Новичок
|
    
Задача:
Найти все натуральные n: многочлен (x^4-1)^n+(x^2-x)^n делится на x^5-1.
Для этого корни x^5-1: x_k=cos(2*k*pi/5)+i*sin(2*k*pi/5), k=0..4 должны быть корнями (x^4-1)^n+(x^2-x)^n.
Делим на (x-1)^n и подставляем x_k, приравниваем к 0 действ. и мним. части:
x_k+1=2*cos(k*pi/5)*cos(k*pi/5)+2*i*sin(k*pi/5)*cos(k*pi/5)
x_k^2=cos(4*k*pi/5)+i*sin(4*k*pi/5)
x_k^2+1=2*cos(2*k*pi/5)*cos(2*k*pi/5)+2*i*sin(2*k*pi/5)*cos(2*k*pi/5)
((x_k+1)*(x_k^2+1))^n+x_k^n=
=2^(2*n) * (cos(k*pi/5)*cos(2*k*pi/5))^(n) * (cos(3*k*n*pi/5)+i*sin(3*k*n*pi/5))+cos(2*k*n*pi/5)+i*sin(2*k*n*pi/5)=
=(2^(2*n) * (cos(k*pi/5)*cos(2*k*pi/5))^(n) * cos(3*k*n*pi/5)+cos(2*k*n*pi/5)) +i*( 2^(2*n) * (cos(k*pi/5)*cos(2*k*pi/5))^(n) * sin(3*k*n*pi/5)+(sin(3*k*n*pi/5) )=0
{ 2^(2*n) * (cos(k*pi/5)*cos(2*k*pi/5))^(n) + (-1)^(k*n) }*cos(3*k*n*pi/5)=0
{ 2^(2*n) * (cos(k*pi/5)*cos(2*k*pi/5))^(n) - (-1)^(k*n) }*sin(3*k*n*pi/5)=0
{ (sin(4*k*pi/5))^n + (-1)^(k*n) * (sin(k*pi/5))^n }*cos(3*k*n*pi/5)=0
{ (sin(4*k*pi/5))^n - (-1)^(k*n) * (sin(k*pi/5))^n }*sin(3*k*n*pi/5)=0
{ (-1)^(k*n+1) + (-1)^(k*n) }*(sin(k*pi/5))^(n)*cos(3*k*n*pi/5)=0
{ (-1)^(k*n+1) - (-1)^(k*n) }*(sin(k*pi/5))^(n)*sin(3*k*n*pi/5)=0
k=1,...,4
Следовательно, n должно делится на 5.
Так или можно решить проще  ?
|
Всего сообщений: 13 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 1 мая 2006 1:07 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Что-то авторизоваться не получается... Questioner2006 я
Sorry, в конце выкладки таковы:
{ (-1)^((k+1)*n) + (-1)^(k*n) }*(sin(k*pi/5))^(n)*cos(3*k*n*pi/5)=0
{ (-1)^((k+1)*n) - (-1)^(k*n) }*(sin(k*pi/5))^(n)*sin(3*k*n*pi/5)=0
вместо
{ (-1)^(k*n+1) + (-1)^(k*n) }*(sin(k*pi/5))^(n)*cos(3*k*n*pi/5)=0
{ (-1)^(k*n+1) - (-1)^(k*n) }*(sin(k*pi/5))^(n)*sin(3*k*n*pi/5)=0
при тех же k=1,...,4
Таким образом, n нечётное и делится на 5.
Так что по поводу решения  ?
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 3 мая 2006 1:58 | IP
|
|
|
Форум
Задача про многочлен
