Questioner2006
Новичок
|
    
Hi all!
Есть идеи начёт того, как решить такую задачу по алгебре?
Доказать, что для любого алгебр. числа а существует nЄN такое, что n*a - целое алгебр. число.
( Целое алг. число корень многочлена с целыми коэффициентами и старшим коэфф. 1; или число, минимальный многочлен которого имеет целые коэфф. (минимальный - значит неприводимый над полем рациональных чисел) ).
Если, к примеру, взять n как наименьшее общее кратное знаменателей рациональных коэффициентов минимального многочлена для а, то значение этого многочлена от n*a целое, и достаточно немного изменить свободный член. Но неясно, будет ли этот многочлен неприводимым.
(Неприводимость над полем рац. чисел проверяется с пом. критерия Эйзенштейна: сущ. простое p, которое делит все коэффициенты, кроме старшего и квадрат p не делит свободный член).
Если есть какие-то соображения, поделитесь.
Thanks.
|
Всего сообщений: 13 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 1 мая 2006 0:10 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Модифицированный многочлен будет неприводимым.
Дело в том, что если многочлен f(n*x) приводим, т.е. f(n*x)=g(x)*h(x), то f(x) также является приводимым: f(x)=g(x/n)*h(x/n). Поэтому из неприводимости f(x) над Q следует неприводимость f(n*x).
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 1 июня 2006 4:08 | IP
|
|
|
Форум
Алгебраические числа
