Kola2
Удален
|
    
Люди, поясните на счёт того, что такое - Лапласиан.
Везде вроде написано, что это сумма вторых производных по координатным функциям, или же он равен div от grad.
Но вот физик написал такое равинство:
rot(rot(a))=grad(div(a)) - laplasian(a)
где а - некий вектор. Но получается, что лапласиян берётся от вектора, то есть берётся grad от вектора.
Вобщем вопрос: в чём ошибка? ошибся препод и в формуле ошибка или же лапласиян можно брать от вектора?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 30 марта 2006 20:09 | IP
|
|
Ren
Долгожитель
|
 
Градиент берётся не от вектора, а от дивергенции вектора, которая в свою очередь является скаляром.
|
Всего сообщений: 284 | Присоединился: октябрь 2005 | Отправлено: 30 марта 2006 23:13 | IP
|
|
Kola2
Удален
|
Не, я имел в виду другое. Лапласиан равен div от grad, следовательно, формула получается такая:
rot(rot(a))=grad(div(a)) - div(grad(a))
и во втором слагаемом градиент берётся от вектора 
Может просто Лапласиан равен div от grad не всегда, а только если его применять к скаляру, а если к вектору, то равен чему-то другому?
Просто токой вывод напрашивается по следующим причинам:
тут на досуге посчитал, чему равен rot(rot(a)) и grad(div(a)) и если поставить это в формулу, которую я привёл, то если она верна, то получается, что Лапласиан равен сумме вторых производных по координатным функциям, умноженным на единичные вектора соответствующих координатных осей. То есть
Laplasian(A) = Xo*(d^Ax/dx^) + Yo*(d^Ay/dy^) + Zo*(d^Az/dz^)
где d^Ax/dx^ - вторая производная Ах по х,
d^Ay/dy^ и d^Az/dz^ - аналогично
Что можете сказать?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 30 марта 2006 23:54 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Лапласиан определяется как оператор суммы 2-х частных производных от некоторой функции - векторной или скалярной - неважно.
Применение же лапласиана к вектору есть этот вектор, к каждой компоненте которого применен лапласиан, только и всего... Это легко видеть из свойств линейности лапласиана (лапл. суммы равен сумме лапласианов от данной функции), разложив векторную функцию по компонентам.
Выражение div(grad(a))=L(a) сраведливо разумеется только для скалярных а.
Формула rot(rot(a))=grad(div(a)) - div(grad(a)) неверна, так как
div(grad(a)) неопределена, т.к. под знаком градиентом должен стоять скаляр, а не вектор.
Точно будет так:
rot(rot(a))=grad(div(a)) - div(grad(ax))*ex-div(grad(ay))*ey-div(grad(az))*ez,
или заменяя каждую компоненту через оператор Лапласа получим
rot(rot(a))=grad(div(a)) - L(ax)*ex+L(ay)*ey+L(az)*ez, и заменяя
L(ax)*ex+L(ay)*ey+L(az)*ez=L(a), получим
rot(rot(a))=grad(div(a)) - L(a), и
L(a) вовсе не дивиргенция градиента... 
(Сообщение отредактировал MEHT 31 марта 2006 1:04)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 31 марта 2006 0:52 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
внешняя ссылка удалена есть дивергенция от градиента скалярной функции фи: 
В декартовых координатах представляет действительно сумму вторых производных по переменным
(Сообщение отредактировал Genrih 31 марта 2006 0:29)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 31 марта 2006 1:02 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Градиент от вектора???
Это что ж такое?
Если уж переходить к оператору "набла" (определение приводить не буду), то "Градиент от вектора" есть дивиргенция...
Ну ладно, шутки в сторону....
Градиент по определению берется от скалярной функции - это по определению.
(Сообщение отредактировал MEHT 31 марта 2006 1:22)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 31 марта 2006 1:15 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Да, Вы правы, МЕНТ. Бессмыслица получилась.
Конечно же нужна скалярная функция фи. Исправил
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 31 марта 2006 1:27 | IP
|
|
Kola2
Удален
|
MEHT, большущее спасибо!!!
Вобщем получается так:
1) формула rot(rot(a))=grad(div(a))-L(a) верна
2) L(a)=div(grad(a)) для скалярных а
3) L(A) = Xo*(d^Ax/dx^) + Yo*(d^Ay/dy^) + Zo*(d^Az/dz^)
где d^Ax/dx^ - вторая производная Ах по х,
d^Ay/dy^ и d^Az/dz^ - аналогично
Всё ли я правильно понял?
(Сообщение отредактировал Kola2 31 марта 2006 1:44)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 31 марта 2006 1:27 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
МЕНТ, ну что Вы так тайничаете? 
Оператор набла - векторный дифференциальный оператор. Из вектора в вектор. Умножив на фунцкию получим градиент.
Умножив на вектор, получим действительно дивергенцию , но (!) дивергенцию вектора.
Умножив оператор самого не себя, получаем преславутый оператор Лапласа
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 31 марта 2006 1:49 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: Genrih написал 31 марта 2006 1:49
МЕНТ, ну что Вы так тайничаете?
Оператор набла - векторный дифференциальный оператор. Из вектора в вектор. Умножив на фунцкию получим градиент.
Умножив на вектор, получим действительно дивергенцию , но (!) дивергенцию вектора.
Умножив оператор самого не себя, получаем преславутый оператор Лапласа
Еще бы добавил:
Умножив векторно на вектор - получим ротор
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 31 марта 2006 6:38 | IP
|
|
|
Форум
Лапласиан
