Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        Лапласиан
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Одна страница
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

Kola2


Удален

Люди, поясните на счёт того, что такое - Лапласиан.

Везде вроде написано, что это сумма вторых производных по координатным функциям, или же он равен div от grad.

Но вот физик написал такое равинство:
rot(rot(a))=grad(div(a)) - laplasian(a)
где а - некий вектор. Но получается, что лапласиян берётся от вектора, то есть берётся grad от вектора.

Вобщем вопрос: в чём ошибка? ошибся препод и в формуле ошибка или же лапласиян можно брать  от вектора?

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 30 марта 2006 20:09 | IP
Ren


Долгожитель

Градиент берётся не от вектора, а от дивергенции вектора, которая в свою очередь является скаляром.

Всего сообщений: 284 | Присоединился: октябрь 2005 | Отправлено: 30 марта 2006 23:13 | IP
Kola2


Удален

Не, я имел в виду другое. Лапласиан равен div от grad, следовательно, формула получается такая:

rot(rot(a))=grad(div(a)) - div(grad(a))

и во втором слагаемом градиент берётся от вектора

Может просто Лапласиан равен div от grad не всегда, а только если его применять к скаляру, а если к вектору, то равен чему-то другому?

Просто токой вывод напрашивается по следующим причинам:
тут на досуге посчитал, чему равен rot(rot(a)) и grad(div(a)) и если поставить это в формулу, которую я привёл, то если она верна, то получается, что Лапласиан равен сумме вторых производных по координатным функциям, умноженным на единичные вектора соответствующих координатных осей. То есть

Laplasian(A) = Xo*(d^Ax/dx^) + Yo*(d^Ay/dy^) + Zo*(d^Az/dz^)

где d^Ax/dx^ - вторая производная Ах по х,
d^Ay/dy^ и d^Az/dz^ - аналогично

Что можете сказать?

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 30 марта 2006 23:54 | IP
MEHT



Долгожитель

Лапласиан определяется как оператор суммы 2-х частных производных от некоторой функции - векторной или скалярной - неважно.
Применение же лапласиана к вектору есть этот вектор, к каждой компоненте которого применен лапласиан, только и всего... Это легко видеть из свойств линейности лапласиана (лапл. суммы равен сумме лапласианов от данной функции), разложив векторную функцию по компонентам.

Выражение div(grad(a))=L(a) сраведливо разумеется только для скалярных а.


Формула rot(rot(a))=grad(div(a)) - div(grad(a)) неверна, так как
div(grad(a)) неопределена, т.к. под знаком градиентом должен стоять скаляр, а не вектор.

Точно будет так:

rot(rot(a))=grad(div(a)) - div(grad(ax))*ex-div(grad(ay))*ey-div(grad(az))*ez,

или заменяя каждую компоненту через оператор Лапласа получим
rot(rot(a))=grad(div(a)) - L(ax)*ex+L(ay)*ey+L(az)*ez, и заменяя
L(ax)*ex+L(ay)*ey+L(az)*ez=L(a), получим

rot(rot(a))=grad(div(a)) - L(a), и

L(a) вовсе не дивиргенция градиента...


(Сообщение отредактировал MEHT 31 марта 2006 1:04)

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 31 марта 2006 0:52 | IP
Genrih


Удален

Laplacian есть дивергенция от градиента скалярной функции фи:
В декартовых координатах представляет действительно сумму вторых производных по переменным


(Сообщение отредактировал Genrih 31 марта 2006 0:29)

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 31 марта 2006 1:02 | IP
MEHT



Долгожитель

Градиент от вектора???
Это что ж такое?
Если уж переходить к оператору "набла" (определение приводить не буду), то "Градиент от вектора" есть дивиргенция...

Ну ладно, шутки в сторону....
Градиент по определению берется от скалярной функции - это по определению.

(Сообщение отредактировал MEHT 31 марта 2006 1:22)

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 31 марта 2006 1:15 | IP
Genrih


Удален

Да, Вы правы, МЕНТ. Бессмыслица получилась.
Конечно же нужна скалярная функция фи. Исправил

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 31 марта 2006 1:27 | IP
Kola2


Удален

MEHT, большущее спасибо!!!

Вобщем получается так:

1) формула rot(rot(a))=grad(div(a))-L(a) верна
2) L(a)=div(grad(a))  для скалярных а
3) L(A) = Xo*(d^Ax/dx^) + Yo*(d^Ay/dy^) + Zo*(d^Az/dz^)
   где d^Ax/dx^ - вторая производная Ах по х,
   d^Ay/dy^ и d^Az/dz^ - аналогично

Всё ли я правильно понял?

(Сообщение отредактировал Kola2 31 марта 2006 1:44)

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 31 марта 2006 1:27 | IP
Genrih


Удален

МЕНТ, ну что Вы так тайничаете?
Оператор  набла - векторный дифференциальный оператор. Из вектора в вектор. Умножив на фунцкию получим градиент.
Умножив на вектор, получим действительно дивергенцию , но (!) дивергенцию вектора.
Умножив оператор самого не себя, получаем преславутый оператор Лапласа

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 31 марта 2006 1:49 | IP
MEHT



Долгожитель


Цитата: Genrih написал 31 марта 2006 1:49
МЕНТ, ну что Вы так тайничаете?
Оператор  набла - векторный дифференциальный оператор. Из вектора в вектор. Умножив на фунцкию получим градиент.
Умножив на вектор, получим действительно дивергенцию , но (!) дивергенцию вектора.
Умножив оператор самого не себя, получаем преславутый оператор Лапласа


Еще бы добавил:
Умножив векторно на вектор - получим ротор

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 31 марта 2006 6:38 | IP

Отправка ответа:
Имя пользователя   Вы зарегистрировались?
Пароль   Забыли пароль?
Сообщение

Использование HTML запрещено

Использование IkonCode разрешено

Смайлики разрешены

Опции отправки

Добавить подпись?
Получать ответы по e-mail?
Разрешить смайлики в этом сообщении?
Просмотреть сообщение перед отправкой? Да   Нет
 

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Одна страница

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com