Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        Пара задач про многочлены
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Одна страница
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

Guest



Новичок

1. Доказать, что многочлен степени < n, принимающий целые значения при n последовательных значениях переменной, принимает целые значения при всех целых значениях переменной.

2. Доказать, что если многочлен с целыми коэффицентами приводим над полем рациональных чисел, то он может быть разложен в произведение двух многочленов меньшей степени с целыми коэффицентами.

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 19 нояб. 2005 1:42 | IP
Genrih


Удален

Как тогда, если р(х)=x/2 ? Берем х1=0;х2=-2, там значения целые.
Что фиксируем? n и n значений переменных?

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 19 нояб. 2005 4:29 | IP
Guest



Новичок

Имеется в виду, берём n последовательных целых значений и при них функция также принимает целые значения.

p(x)=x/2
p(0)=0
p(1)=1/2
p(2)=1

При p(1), как видишь, значение не целое. Иначе был бы контрпример

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 19 нояб. 2005 9:02 | IP
Genrih


Удален

или я тупею , но понять все-равно хочется:
Скажите как выбираются n(ясно что  > m) и последовательные целые? для данного полинома мне надо иметь лишь определенное число n и определенные целые?или берем (одно !? ) n  и смотрим все последовательные целые, проверяем условие: целое ли значение  полинома и пытаемся доказать ?
правильно я понял задачу?

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 19 нояб. 2005 17:28 | IP
Guest



Новичок

вообщем есть полином -- f(x), его степень меньше n; утверждается что если найдется некое целое число k, что f(k), f(k+1), f(k+2)...f(k+n) -- целые, то многочлен принимает целые значения для любого целого аргумента.

куда понятнее я не знаю

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 19 нояб. 2005 23:25 | IP
SERGEY 1


Удален

О первой задаче.
Решение есть на problems.ru задача № 61451 или в книге Шклярский и др. "Избранные задачи и теоремы элементарной математики" Ч.1, М. 1954г.

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 20 нояб. 2005 9:35 | IP
Genrih


Удален

Первую пошел в лоб (никому не советую!! ) и загруз просто выражать. Guest, если есть какое-нидь другое решение давайте!

----------------------------------------------------------------------
2.
Пусть
p_i(x) - полином с рац. коеффициентами (i=1,...,n).
Приводим все коеффициенты под общий знаменатель k или:
       
     p_i(x)=1/k (c_0*x^n +... c_m)     // с_i - целые

Если НОД(с_0,...,с_m)=d и с_i=c*_i d (i=1, ... m) то
   
     р_i(x)= d/k (c*_0 *x^n + ...+ c*_m)     {обозначаем d/k = r_i}
 
а НОД(с*_0,...,с*_m)=1. Eто означает что c*_0 *x^n + ...+ c*_m - примитивный полином (т.е. коеффициенты делятся вместе только на 1 и -1)
Произведение примитивных примитивный.
Теперь, рассмотрев разложение z(x) над Q:

z(x)=p_1(x)...p_n(x) = r_1...r_n z_1(x)...z_n(x).

В правой части перед полиномами рациональное, произведение примитивных полиномов,
которые в итоге дают целый полином  z(x) => r_1* ...* r_n - целое
----------------------

тут-то  вся игра  чтоб привести к примитивным, т.к. если выносить только общий знаменатель, то их произведение никак не будет целым.
Хороший задача!!

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 22 нояб. 2005 1:30 | IP

Отправка ответа:
Имя пользователя   Вы зарегистрировались?
Пароль   Забыли пароль?
Сообщение

Использование HTML запрещено

Использование IkonCode разрешено

Смайлики разрешены

Опции отправки

Добавить подпись?
Получать ответы по e-mail?
Разрешить смайлики в этом сообщении?
Просмотреть сообщение перед отправкой? Да   Нет
 

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Одна страница

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com