Guest
Новичок
|
    
1. Доказать, что многочлен степени < n, принимающий целые значения при n последовательных значениях переменной, принимает целые значения при всех целых значениях переменной.
2. Доказать, что если многочлен с целыми коэффицентами приводим над полем рациональных чисел, то он может быть разложен в произведение двух многочленов меньшей степени с целыми коэффицентами.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 19 нояб. 2005 1:42 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Как тогда, если р(х)=x/2 ? Берем х1=0;х2=-2, там значения целые.
Что фиксируем? n и n значений переменных?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 19 нояб. 2005 4:29 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Имеется в виду, берём n последовательных целых значений и при них функция также принимает целые значения.
p(x)=x/2
p(0)=0
p(1)=1/2
p(2)=1
При p(1), как видишь, значение не целое. Иначе был бы контрпример 
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 19 нояб. 2005 9:02 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
или я тупею , но понять все-равно хочется:
Скажите как выбираются n(ясно что > m) и последовательные целые? для данного полинома мне надо иметь лишь определенное число n и определенные целые?или берем (одно !? ) n и смотрим все последовательные целые, проверяем условие: целое ли значение полинома и пытаемся доказать ?
правильно я понял задачу?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 19 нояб. 2005 17:28 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
вообщем есть полином -- f(x), его степень меньше n; утверждается что если найдется некое целое число k, что f(k), f(k+1), f(k+2)...f(k+n) -- целые, то многочлен принимает целые значения для любого целого аргумента.
куда понятнее я не знаю
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 19 нояб. 2005 23:25 | IP
|
|
SERGEY 1
Удален
|
О первой задаче.
Решение есть на problems.ru задача № 61451 или в книге Шклярский и др. "Избранные задачи и теоремы элементарной математики" Ч.1, М. 1954г.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 20 нояб. 2005 9:35 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Первую пошел в лоб (никому не советую!! ) и загруз просто выражать. Guest, если есть какое-нидь другое решение давайте!
----------------------------------------------------------------------
2.
Пусть
p_i(x) - полином с рац. коеффициентами (i=1,...,n).
Приводим все коеффициенты под общий знаменатель k или:
p_i(x)=1/k (c_0*x^n +... c_m) // с_i - целые
Если НОД(с_0,...,с_m)=d и с_i=c*_i d (i=1, ... m) то
р_i(x)= d/k (c*_0 *x^n + ...+ c*_m) {обозначаем d/k = r_i}
а НОД(с*_0,...,с*_m)=1. Eто означает что c*_0 *x^n + ...+ c*_m - примитивный полином (т.е. коеффициенты делятся вместе только на 1 и -1)
Произведение примитивных примитивный.
Теперь, рассмотрев разложение z(x) над Q:
z(x)=p_1(x)...p_n(x) = r_1...r_n z_1(x)...z_n(x).
В правой части перед полиномами рациональное, произведение примитивных полиномов,
которые в итоге дают целый полином z(x) => r_1* ...* r_n - целое
----------------------
тут-то вся игра чтоб привести к примитивным, т.к. если выносить только общий знаменатель, то их произведение никак не будет целым.
Хороший задача!!
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 22 нояб. 2005 1:30 | IP
|
|
|
Форум
Пара задач про многочлены
