Guest
Новичок
|
    
Помогите доказать, что любой отрезок гармонического ряда не является целым числом.
1+1/2+1/3+...+1/n, n>1
Заранее спасибо.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 3 сен. 2005 21:01 | IP
|
|
Indigo
Удален
|
Пусть S(n) - n-тая частичная сумма ряда.
Тогда "отрезок" ряда имеет вид S(m)-S(n), m>n
Очевидно, что S(2n)-S(n)<1
Таким образом, для m<2n утверждение верно,
Рассмотрим случай m>=2n.
Как известно, между n и 2n всегда есть простое число (результат Чебышева).
Таким образом, докажем от противного.
пусть
1/n+...+1/p+...+1/m=k, k-целое, p- наибольшее простое, содержащееся в отрезке (n,m).
Тогда число 2p в отрезок уже не входит (если входило бы, то между p и 2p было бы простое число, бОльшее р, откуда противоречие).
Таким образом, ни одно из чисел этого отрезка не делится на р.
Находим НОК чисел n,n+1,...,p-1,p+1,...,m
Умножаем на него правую и левую часть, вуаля - слева - число нецелое, справа - целое. Противоречие.
Что-то слишком просто получилось, наверное, глюк где-нибудь 
(Сообщение отредактировал Indigo 3 сен. 2005 22:30)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 3 сен. 2005 23:28 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Я немного очепатался:
надо доказать что
1+1/2+1/3+...+1/n не принадлежит Z Для любого n.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 3 сен. 2005 23:37 | IP
|
|
Indigo
Удален
|
Положите в S(m)-S(n) - n=1 
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 3 сен. 2005 23:45 | IP
|
|
Indigo
Удален
|
Или даже можно проще доказать:
Для данного n найдем такое k, что
2^k <=n < 2^(k+1)
Тогда, от противного, пусть
S(n)=1+1/2+...+1/2^k+...+1/n=m, где m целое.
Найдем НОК всех чисел 1,2,...,2^k-1,2^k+1,...,n.
Оно имеет вид 2^(k-1)p_{1}p_{2}...p_{l}, где p_{i} - нечетные простые числа.
Опять же умножаем на него правую и левую часть.
Слева будет сумма натуральных чисел+ число p_{1}p_{2}...p_{l}/2, которое не является натуральным.
Справа - натуральное число.
Полученное противоречие доказывает то, что частичные суммы не могут быть натуральным числом.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 4 сен. 2005 0:03 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Cледуя решению Indigo можно продолжить и обобшить результат.А именно рассмотреть ряд :
1 + 1/2^k + 1/3^k + ... + 1/n^k
и повторить те же рассуждения. В итоге получаем что: частичные суммы S(n) (обобшенного гармонического ряда) не принадлежат N
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 17 сен. 2005 23:50 | IP
|
|
|
Форум
ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД
