danzova
Удален
|
    
Задача из сборника Филиппова №736*.
Условие: Пусть t1,t2,t3,... - возрастающая последо-вательность нулей решения х''+q(t)x=0, где q(t) >0; При t1<=t<infinite функция q(t) непрерывна и возрас-тает. Известно, что q(t)->c<infinite на бесконечности.
B[n]:=max|x(t)| на t[n]<=t<=t[n+1].
Уже доказано, что последовательность B[n] убывает =>существует предел. Нужно показать, что он >0.
В предположении противного уже и графики строи-ла, и интегрировала, но никаких противоречий не видела. Просто сказать, что в бесконечно удалённой точке нач. усл. соответствуют нулевому решению и воспользоваться теоремой единственности, наверно, слишком просто.
Очень хочется узнать решение (просто из любо-пытства). Буду очень благодарна, если поможете.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 8 июля 2005 11:44 | IP
|
|
danzova
Удален
|
Ну хоть кто-нибудь что-нибудь подскажет?! Пожалуйста! Может видели решебник по этому сборнику, и этому буду рада!
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 18 июля 2005 22:50 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Может быть так
Если q(t)->c, c>0, то при t->inf решением этого уравнения будет функция, вида c1*sin(c^0.5*t)+c2*cos(t^0.5*t), т.е. некоторая синусоида. А максимальные значения синусоиды между нулями всегда >=0.
Если c<=0
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 19 июля 2005 12:44 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
то решением будет функция вида c1*e^(c*t)+c2*e^(-c*t), или c1+c2*x при c=0 она может иметь только один ноль, т.е. по всей видимости имелось в виду c>0.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 19 июля 2005 12:52 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
В сообщении 19 июля 2005 12:44 такая функция
c1*sin(c^0.5*t)+c2*cos(c^0.5*t)
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 19 июля 2005 12:53 | IP
|
|
danzova
Удален
|
Извините, забыла сказать, с>0.
Насчёт предельной системы я уже думала. Но разве из того, что уравнение при t->inf cтремится к уравнению (*) следует, что решения исходной системы на бесконечности стремится к решению(*)(какому? не станешь же писать всё с неопределёнными коэффициентами). Это уже какая-то теорема, которую нужно доказывать.
(Сообщение отредактировал danzova 24 июля 2005 23:17)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 24 июля 2005 23:16 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Т.е. проблема в том, чтобы строго доказать, что из того, что уравнение при t->inf cтремится к уравнению (*) следует, что решения исходной системы на бесконечности стремится к некоторому решению(*) .
Но если считать, что это так, то всё равно, с какими коэффициентами будет его решение c1*sin(c^0.5*t)+c2*cos(c^0.5*t), всё равно его максимальные значения между нулями будут >=0.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 25 июля 2005 2:38 | IP
|
|
|
Форум
Диф. уравнения. Задача.
