M0rFium
Удален
|
    
Помогите, пожалуйста, уже месяц ношу преподавателю задачу, а он говорит, что доказательство не совсем верное.
Задача:
Пусть [0;1]=Х, а открытыми в нем являются те его подмножества (наряду с Х и пустым множеством), которые получаются выбрасыванием из него любого конечного или счетного числа точек. Доказать, что:
1) Х - топологическое пространство
2) сходящимися в Х являются только те последовательности, элементы которых, начиная с некоторого номера, совпадают.
Вот мое решение:
1) Чтобы множество было топологическим пространством, необходимо, чтобы выполнялись условия:
а) пустое множество и Х принадлежат топологии, то есть являются открытыми множествами (выполняется по условию);
б) для любых u,v, принадлежащих топологии должно выполняться: пересечение u и v принадлежит топологии (выполняется, так как пересечение двух множеств, принадлежащих топологии есть множество, принадлежащее топологии);
в) объединение конечного числа множеств, принадлежащих топологии, тоже принадлежит топологии (выполняется, так как все эти множества принадлежат топологии)
Из этого можно сделать вывод, что (Х,t) - топологическое пространство.
А вот со второй частью вообще непонятно... Что скажете?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 9 июня 2005 17:53 | IP
|
|
dm
Удален
|
Вот мое решение:
1) Чтобы множество было топологическим пространством, необходимо, чтобы выполнялись условия:
В общем-то это верно, действительно необходимо, но НЕ достаточно. 
Прочитайте определение топологии в любом учебнике. В пункте "б" пересечения должны быть конечные (так что действительно достаточно пересечений по два), а в пункте "в" объединения должны быть ПРОИЗВОЛЬНЫЕ, а не только конечные или даже счетные.
А вот со второй частью вообще непонятно...
Опять-таки прочитайте определение сходящейся последовательности в тополоргическом пространстве. Надо, чтобы для любой открытой окрестности предела, начиная с какого-то момента, элементы последовательности туда попадали. И подумайте, что это значит сейчас, когда у нас окрестности именно такие.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 9 июня 2005 18:05 | IP
|
|
M0rFium
Удален
|
в пункте "в" объединения должны быть ПРОИЗВОЛЬНЫЕ, а не только конечные или даже счетные.
а если они произвольные, тогда что делать? это же не говорит о том, что они принадлежат топологии.
Опять-таки прочитайте определение сходящейся последовательности в тополоргическом пространстве. Надо, чтобы для любой открытой окрестности предела, начиная с какого-то момента, элементы последовательности туда попадали. И подумайте, что это значит сейчас, когда у нас окрестности именно такие.
сижу, читаю...
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 9 июня 2005 18:32 | IP
|
|
dm
Удален
|
а если они произвольные, тогда что делать? это же не говорит о том, что они принадлежат топологии.
В данной конкретной ситуации, когда класс открытых множеств задан именно так, говорит, конечно. Работают формулы де Моргана.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 9 июня 2005 18:37 | IP
|
|
M0rFium
Удален
|
В данной конкретной ситуации, когда класс открытых множеств задан именно так, говорит, конечно. Работают формулы де Моргана.
а разве они работают не только для отрицания?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 9 июня 2005 18:52 | IP
|
|
dm
Удален
|
Так у Вас в задаче и идет о речь о дополнениях в [0,1] к произвольным не более чем счетным множествам.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 9 июня 2005 18:54 | IP
|
|
M0rFium
Удален
|
Чего-то я совсем запутался. Откуда дополнения? И что значит "не более чем счетные множества"?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 9 июня 2005 18:58 | IP
|
|
M0rFium
Удален
|
И все же...
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 9 июня 2005 19:56 | IP
|
|
dm
Удален
|
И что значит "не более чем счетные множества"?
Не более чем счетное множество - это либо пустое, либо конечное, либо счетное.
Чего-то я совсем запутался. Откуда дополнения?
Ответ:
те его подмножества ... которые получаются выбрасыванием из него любого конечного или счетного числа точек.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 9 июня 2005 20:14 | IP
|
|
|
Форум
Задача по функану
