Guest
Новичок
|
    
"доказать, что если функция разрывна в каждой точке отрезка, то она не интегрируема на этом отрезке."
Задали ещё неделю назад, а я сама ну ни как не могу разобраться... помогите!
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 1 мая 2005 11:47 | IP
|
|
dm
Удален
|
Вы не указали, в каком смысле говорите об интегрируемости. Наверняка, об интегрируемости в смысле Римана, т.к. в смысле Лебега приведенное утверждение не верно.
На самом деле это стандартная теорема из анализа:
Мера Лебега множества точек разрыва интегрируемой по Риману функции равна нулю.
Должна была доказываться либо в курсе матанализа, либо в курсе теории меры.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 1 мая 2005 12:06 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Да, Вы правы - нужно доказать интегрируемость по Риману. Но в том то и проблемма, что её доказательства у нас не было 
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 1 мая 2005 14:16 | IP
|
|
dm
Удален
|
Можете почитать:
Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла (1989) п.7.8 "Критерий интегрируемости функции по Риману".
Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.1 (1990). п.9.6 "Теорема Лебега". Т.2 (1991). п.12.10 "Доказательство теоремы Лебега".
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 1 мая 2005 16:08 | IP
|
|
sms
Удален
|
По-моему, это даже критерий интегрируемости по Риману.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 3 мая 2005 22:04 | IP
|
|
dm
Удален
|
Критерий, конечно.
Вот только функция сейчас у автора вопроса удовлетворяет достаточно сильному ограничению: она не просто не непрерывна почти всюду, а всюду разрывна.
Так что сейчас действительно получается, что можно обойтись без критерия интегрируемости по Риману в терминах меры Лебега множества точек разрыва. Хватает обычного критерия интегрируемости с первого курса: для любого epsilon>0 существует разбиение отрезка интегрирования, для которого разность верхней и нижней сумм Дарбу меньше epsilon.
Сейчас за счет разрывности во всех точках очень легко предъявить такое epsilon>0, что для любого разбиения разность сумм Дарбу будет отступать от нуля на это epsilon.
Это действительно очень простое упражнение на понимание сумм Дарбу и непрерывности. Оказалось, что не нужно привлекать тяжелую артиллерию типа критерия Лебега. 
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 3 мая 2005 23:08 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Извините, но я опять что-то не пойму...
Ведь если функция разрывна в каждой точке отрезка, то это значит, если я ничего не путяю, что её супренум и инфинум = 0. А отсюда следует что и суммы Дарбу = 0....
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 11 мая 2005 20:38 | IP
|
|
dm
Удален
|
Ведь если функция разрывна в каждой точке отрезка, то это значит, если я ничего не путяю, что её супренум и инфинум = 0.
Нет, конечно. Путаете. Для функции Дирихле это так. С чего бы это было так для любой всюду разрывной функции?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 11 мая 2005 20:51 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
А как же тогда определить и подобрать нужный epsilon??
Я уже действительно запуталась....
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 11 мая 2005 21:20 | IP
|
|
dm
Удален
|
В качестве эпсилона можно взять
(b-a) * inf_([a_1,b_1]C[a,b], a_1<b_1) sup_(x_1,x_2Є[a_1,b_1]) |f(x_1)-f(x_2)|.
Только надо уметь доказывать, что этот инфинум >0, исходя из того, что f разрывна во всех точках [a,b].
(Сообщение отредактировал dm 12 мая 2005 18:08)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 12 мая 2005 19:03 | IP
|
|
Форум
функция разрывна в каждой точке
