fail
Удален
|
    
Народ подскажите как это доказать:
Sin(PI/7) не равно 2/5
есть конечно предложение взять sin(7х), где x=Pi/7, и представить, как F(Sinx,Cosx) и показать что при Sinx=2/5 F не равно 0
Но может есть другой путь?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 28 фев. 2005 11:14 | IP
|
|
kutia
Удален
|
Как угодно!
Можно графически(на круге)
можно разложить в ряд Тейлора и посчитать с точностью до сотых
тобиш как хочешь(что в голову взбредет)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 28 фев. 2005 19:02 | IP
|
|
fail
Удален
|
боюсь что на круге этого не показать!
а ряд Тейлора и речи быть не может так как школьная олимпиада!!!
какие еще будут предложения
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 1 марта 2005 6:39 | IP
|
|
dm
Удален
|
Можно было бы проверить цепочку неравенств, хотя не знаю, достаточно ли это элементарно:
sin(pi/7)>pi/7-(1/6)*(pi/7)^3>2/5.
Здесь использовано неравенство
sin(x)>x-x^3/6, 0<x<pi/2.
Элементарно его можно было бы попробовать доказать, как здесь:
http://exir.ru/cgi-bin/ikonboard/topic.cgi?forum=7&topic=160
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 1 марта 2005 17:00 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Задачу можно решить так:
Т.к. синус на участке [0;pi/2] монотонно возрастает, то если мы докажем, что для значения x, меньшего pi/7, что его синус больше 2/5, то мы докажем это и для sin(pi/7).
Найдём такое значение x, причём чтобы его синус выражался аналитически через корни.
Находим по формуле sin(x/2)=((1-cos(x))/2)^(1/2)
sin(pi/8)=((2-2^0.5)^0.5)/2=0.382683<2/5 т.е. x=pi/8 не походит
Найдём, какой угол, синус которого выражается аналитически надо прибавить к pi/8 чтобы получить угол, меньший pi/7
pi/7-pi/8=pi/56
Поэтому берём например x=pi/8+pi/64=9*pi/64<pi/7
sin(9*pi/64)=sin(pi/8+pi/64)=sin(pi/8)*cos(pi/64)+cos(pi/8)*sin(pi/64)
Находим sin(pi/64) и cos(pi/64) , 3 раза применив формулу sin(x/2)=((1-cos(x))/2)^(1/2) к sin(pi/8)
Получим
sin(pi/64)=(1/2)*(2-(2+(2+(2+2^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)^0.5
cos(pi/64)=(1/2)*(2+(2+(2+(2+2^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)^0.5
Наконец получаем
sin(9*pi/64)=(((2-2^0.5)^0.5)/2)*((2+(2+(2+(2+2^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)/2+(((2+2^0.5)^0.5)/2)*((2-(2+(2+(2+2^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)/2=0.427555>2/5
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 9 марта 2005 1:35 | IP
|
|
sms
Удален
|
Если можно использовать выпуклость-то решение совсем простое. Синус на отрезке 0, pi/6 лежит выше хорды, проходящей через точки (0,0) и (pi/6, 1/2).
Поэтому
sin(pi/7)>=3/pi*Pi/7=3/7>2/5
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 12 марта 2005 12:16 | IP
|
|
sms
Удален
|
Нашёл элементарное решение, только по формулам удвоения. От противного.
sin(pi/7)=2\5, cos(pi/7)=sqrt(0,84),
sin^2(pi/7)=4/25, cos(2pi/7)=17/25,
cos^2(2pi/7)=289/625, cos(4pi/7)=- 47/625,
cos(8pi/7)=- 386207/390625,
cos(pi/7)= 396207/390625 не равно sqrt(0,84)-иррациональному числу. Это можно тоже элементарно:
100*(396207)^2 не равно 84*5^16,
левая часть делится только на 5^2.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 13 марта 2005 20:44 | IP
|
|
|
Форум
Доказательство "не равенства"
