neeize
Новичок
|
   
Определить углы равнобедренного треугольника, зная, что точка пересечения его высот лежит на вписанной окружности.
Через вершину А правильного треугольника АВС под углом q (0 < q < 60) к АС проведена прямая, пересекающая ВС в точке D. Найти отношение площади треугольника ADC к площади треугольника АВС.
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна q, а двугранный угол между основанием и боковой гранью равен x. Найти расстояние между центром шара, вписанного в пирамиду, и центром шара, описанного около пирамиды.
Один из катетов прямоугольного треугольника равен b, а радиус описанной около этого треугольника окружности равен R. Найти длину биссектрисы угла, заключённого между данным катетом и гипотенузой.
Найти бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, если известно, что её второй член равен ¼, а сумма всех членов втрое больше квадратов этих членов.
|
Всего сообщений: 4 | Присоединился: январь 2009 | Отправлено: 4 янв. 2009 17:00 | IP
|
|
RKI 
Долгожитель
|
Цитата: neeize написал 4 янв. 2009 17:00
Один из катетов прямоугольного треугольника равен b, а радиус описанной около этого треугольника окружности равен R. Найти длину биссектрисы угла, заключённого между данным катетом и гипотенузой.
Треугольник ABC - прямоугольный треугольник, где угол A равен 90 градусов.
AB = b
Проведем биссектрису угла B. Точка D - точка пересечения биссектрисы со стороной AC.
Необходимо найти BD.
Центр описанной около прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, то есть BC=2R
cosABC = AB/BC = b/2R
cosABC = cos(2ABD) = (cosABD)^2 - (sinABD)^2 = 2(cosABD)^2-1
(cosABD)^2 = (cosABC+1)/2 = (b/2R +1)/2 = (b+2R)/4R
cosABD = sqrt{ (b+2R)/4R }
cosABD = AB/BD
BD = AB/cosABD = b*sqrt{ 4R/(b+2R) }
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 4 янв. 2009 20:37 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: neeize написал 4 янв. 2009 17:00
Через вершину А правильного треугольника АВС под углом q (0 < q < 60) к АС проведена прямая, пересекающая ВС в точке D. Найти отношение площади треугольника ADC к площади треугольника АВС.
угол DAC = q
угол ACD = 60 градусов
AB = AC = BC = a
В треугольнике ACD проведем высоту DH. Тогда треугольники ADH и CDH прямоугольные.
tgDAH = DH/AH => AH = DH/tgDAH = DH/tg(q)
tgDCH = DH/CH => CH = DH/tgDCH = DH/tg(60)
AH + HC = AB = a
AH + HC = DH/tg(q) + DH/tg(60) = {tg(60)+tg(q)}DH/tg(q)tg(60) =
= a => DH = a*tg(q)*tg(60)/{tg(q)+tg(60)}
CH = DH/tg(60) = a*tg(q)/{tg(q)+tg(60)}
cosDCH = CH/CD => CD = CH/cosDCH = CH/cos(60) = 2CH =
= 2a*tg(q)/{tg(q)+tg(60)}
S(ADC) = AC*CD*sinACD = a*CD*sin60
S(ABC) = AC*BC*sinACB = a*a*sin60
S(ADC)/S(ABC) = CD/a = 2tg(q)/{tg(q)+tg(60)}
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 4 янв. 2009 21:02 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: neeize написал 4 янв. 2009 17:00
Найти бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, если известно, что её второй член равен 1/4;, а сумма всех членов втрое больше суммы квадратов этих членов.
Геометрическая прогрессия имеет вид
b0 b1=b0*q b2=b0*(q^2) ...
Известно, что b1=b0*q=1/4
Прогрессия бесконечно убывающая, то есть |q|<1
Сумма всех членов геометрической прогрессии
S = b1/(1-q) = 1/4(1-q)
Квадраты членов геометрической прогрессии представляют также геометрическую прогрессию
(b0)^2 (b1)^2=(b0*q)^2=(b0)^2*(q)^2 (b2)^2=(b0)^2*(q)^4
|q|<1 => q^2 < 1
Это также бесконечно убывающая прогрессия. Её сумма равна
S1 = (b1)^2/(1-q^2) = 1/16(1-q^2)
Сумма всех членов втрое больше суммы квадратов этих членов => S=3S1
1/4(1-q) = 3/16(1-q^2) => q=1/4
b1 = b0*q
1/4 = b0*1/4
b0=1
Тогда искомая геометрическая прогрессия имет вид
1 1/4 1/16 1/64 ...
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 5 янв. 2009 11:49 | IP
|
|
neeize
Новичок
|
спасибо
а другие
|
Всего сообщений: 4 | Присоединился: январь 2009 | Отправлено: 6 янв. 2009 13:06 | IP
|
|
Old
Долгожитель
|
Цитата: neeize написал 4 янв. 2009 17:00
Определить углы равнобедренного треугольника, зная, что точка пересечения его высот лежит на вписанной окружности
....
Нетрудно доказать, что биссектрисы совпадают с высотами только в равностороннем тр-ке. @=pi/3/
|
Всего сообщений: 285 | Присоединился: ноябрь 2006 | Отправлено: 7 янв. 2009 14:50 | IP
|
|
|
Форум
помогите с задачами
