Andrey91
Новичок
|
    
Здравствуйте!
Необходимо решить такую задачу...
Вообще говоря, дана функция, заданная кусочно... f(x)=e^(-1/(1-x^2)) для |x|<1; и равна 0 для |x|>=1
доказать, что функция e^(-1/1-x^2) бесконечно дифференцирована в точке 1 при стремлении слева... Тем самым докажется дифференцируемость в 1 (так как справа очевидно...)
У меня есть зачатки решения, доведенные до применения формулы Лейбница для нахождения энной производной произведения двух функций, но я не могу доказать, что сумма тех пределов будет равна нулю (что должно получиться, так как первая производная от f(x) равна нулю в единице)...
Помогите, не знаю что и делать...
(Сообщение отредактировал Andrey91 22 дек. 2008 18:16)
|
Всего сообщений: 3 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 22 дек. 2008 17:33 | IP
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
Сначала я разделил бы "плохие" точки, представив функцию на промежутке [-1,1] в виде произведения e^(-1/(2(1-x)) *e^(-1/(2(1+x)).
Потом выбрал бы точку, например, х=1 и, выполнив линейню замену переменной 1-х=t, свёл бы вопрос к изучению функции e^(-1/t), при t>0, в точке 0. Останется доказать, что предел P(1/t)* e^(-1/t), при t стремящемся к нулю, равен нулю для любого многочлена P(x). Это легко доказывается с помощью правила Лопиталя, после замены переменной 1/t = х.
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 22 дек. 2008 18:44 | IP
|
|
Andrey91
Новичок
|
Извините пожалуйста за мою глупость (без иронии), но можно поподробнее про многочлен P(x)? Что это и каким образом предел P(1/t)* e^(-1/t) является решением задачи?
|
Всего сообщений: 3 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 22 дек. 2008 19:11 | IP
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
То что задача свелась к изучению функции e^(-1/t), при t>0, в точке 0, Вы согласны. Хорошо. Правда там была неточность: надо было выполнить замену 2(1-х)=t.
Таким образом надо показать, что предел функции e^(-1/t) и её производных равен 0, при t стремящемся к нулю. Но любая производная функции e^(-1/t) имеет вид P(1/t)* e^(-1/t), где P(1/t) - многочлен, степень которого нас даже не очень интересует.
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 22 дек. 2008 19:24 | IP
|
|
Roman Osipov 
Долгожитель
|
  
Продолжение обсуждения в основной теме:
Нахождение производных. Дифференцирование
Прошу соблюдать правила, установленные на форуме.
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 23 дек. 2008 19:36 | IP
|
|
|
Форум
бесконечно дифференцируемая функция
