KOTRPA
Новичок
|
   
Собственно вот эти самые задачи...
внешняя ссылка удалена
|
Всего сообщений: 1 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 17 дек. 2008 2:00 | IP
|
|
RKI 
Долгожитель
|
1a)
16z^4 + 81 = 0
z^4 = -81/16
z^4 = 81/16*(cosП+isinП)
Данное уравнение имеет четыре корня z0, z1, z2, z3
z0 = 3/2*(cosП/4+isinП/4) = 3sqrt(2)/4*(1+i)
z1 = 3/2*(cos3П/4+isin3П/4) = 3sqrt(2)/4*(-1+i)
z2 = 3/2*(cos5П/4+isin5П/4) = -3sqrt(2)/4*(1+i)
z3 = 3/2*(cos7П/4+isin7П/4) = 3sqrt(2)/4*(1-i)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 17 дек. 2008 11:08 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
1б)
z^4 + iz^2 + 6 = 0
Сделаем замену t=iz^2. Тогда t^2 = -z^4
-t^2 + t + 6 = 0
t^2 - t - 6 = 0
t1 = -2
t2 = 3
-------------------------------------------------------------
t1 = -2
iz^2 = -2
z^2 = -2/i
z^2 = 2i
z^2 = 2(cosП/2+isinП/2)
Данное уравнение имеет два корня z0 и z1
z0 = sqrt(2)*(cosП/4+isinП/4) = 1+i
z1 = sqrt(2)*(cos5П/4+isin5П/4) = -1-i
----------------------------------------------------------------
t2 = 3
iz^2 = 3
z^2 = 3/i
z^2 = -3i
z^2 = 3(cos(-П/2)+isin(-П/2))
Данное уравнение имеет два корня z0 и z1
z0 = sqrt(3)*(cos(-П/4)+isin(-П/4)) = sqrt(6)/2*(1-i)
z1 = sqrt(3)*(cos3П/4+isin3П/4) = sqrt(6)/2*(-1+i)
Ответ. 1+i; -1-i; sqrt(6)/2*(1-i); sqrt(6)/2*(-1+i)
P.S. sqrt - корень квадратный
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 17 дек. 2008 11:22 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
3)
w(z0) = cos(2-5i) = cos2*ch(-5) + isin2*sh(-5) =
= cos2*ch5 - isin2*sh5 =
= 1/2*cos2*(e^5 + e^(-5)) - i/2*sin2*(e^5 - e^(-5))
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 17 дек. 2008 11:30 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
5)
z=x+iy
f(z) = e^((z+3)/2) = e^((x+iy+3)/2) =
= e^((x+3)/2 + iy/2) =
= e^((x+3)/2) * e^(iy/2) =
= e^((x+3)/2) * (cos(y/2)+isin(y/2)) =
= e^((x+3)/2) * cos(y/2) + i*e^((x+3)/2) * sin(y/2)
f(z) = u(x;y)+iv(x;y)
u(x;y) = e^((x+3)/2) * cos(y/2)
v(x;y) = e^((x+3)/2) * sin(y/2)
---------------------------------------------------------
Условия Коши-Римана
1) du/dx = dv/dy
2) du/dy = -dv/dx
Проверим данные условия
1) du/dx = 1/2 * e^((x+3)/2) * cos(y/2)
dv/dy = 1/2 * e^((x+3)/2) * cos(y/2)
Первое условие выполнено
2) du/dy = -1/2 * e^((x+3)/2) * sin(y/2)
dv/dx = 1/2 * e^((x+3)/2) * sin(y/2)
Второе условие выполнено
------------------------------------------------------------------------
Если условия Коши-Римана выполнены, то производная представима в любой из следующих форм
f'(z) = du/dx+idv/dx = dv/dy-idu/dy
Тогда в данной задаче
f'(z) =
= 1/2 * e^((x+3)/2) * cos(y/2) + i/2 * e^((x+3)/2) * sin(y/2)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 17 дек. 2008 11:50 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
7a)
x=2cost
y=sint
(x; y) меняются от точки (-2; 0) до точки (0; 1). Это говорит о том, что параметр t меняется в пределах от -П до П/2
z = x+iy = 2cost + isint
Rez = x = 2cost
dz = (-2sint + icost)dt
Тогда
int zRezdz =
= int_{-П}^{П/2} (2cost + isint)*2cost * (-2sint + icost)dt =
= int_{-П}^{П/2} (-5sintcost + 2i(cost)^2 - 2i(sint)^2)*2cost dt = int_{-П}^{П/2} (-5sintcost + 2i - 4i(sint)^2)*2cost dt =
= - int_{-П}^{П/2} 5sintcost*2cost dt +
+ int_{-П}^{П/2} 2i*2cost dt -
- int_{-П}^{П/2} 4i(sint)^2 * 2cost dt =
= -10*int_{-П}^{П/2} sint(cost)^2 dt +
+ 4i*int_{-П}^{П/2} cost dt -
- 8i*int_{-П}^{П/2} (sint)^2 *cost dt =
= 10*int_{-П}^{П/2} (cost)^2 d(cost) +
+ 4i*int_{-П}^{П/2} cost dt -
- 8i*int_{-П}^{П/2} (sint)^2 *d(sint) =
= 10/3*(cost)^3 | _{-П}^{П/2} +
+ 4i*sint | _{-П}^{П/2} -
- 8i/3*(sint)^3 | _{-П}^{П/2} =
= -10/3 + 4i - 8i/3 =
= -10/3 + 4i/3
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 17 дек. 2008 12:18 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
   
Я вообще молчу, что это ТФКП, а не анализ.
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 17 дек. 2008 20:20 | IP
|
|
Форум
Задачи по мат анализу
