Guest
Новичок
|
    
Как ответить на такой вопрос: существуют ли пять последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых есть квадрат целого числа? Помогите, пожалуйста, кто-нибудь, а то уже запутался.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 24 окт. 2008 19:38 | IP
|
|
Roman Osipov 
Долгожитель
|
   
Рассмотрим любые 5 последовательных натуральных чисел, они имеют вид: n, n+1, n+2, n+3, n+4, где n любое натуральное число.
Их сумма квадратов равна:
n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2+(n+4)^2=
=n^2+(n^2+2n+1)+(n^2+4n+4)+(n^2+6n+9)+(n^2+8n+16)=
=5n^2+20N+30.
Так как 5n^2+20N+30 нельзя представить в виде (an+b)^2, где a и b целые числа, то таким образом доказано, что:
не существует пяти последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых есть квадрат целого числа.
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 24 окт. 2008 20:06 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Двух последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых есть квадрат целого числа, тоже тогда не существует:
2n^2 + 2n + 1 =/= (an+b)^2, где a и b целые числа.
Извините, но, наверное, непонял Ваш метод.
Не я писал первый пост.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 24 окт. 2008 21:21 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
Сумма квадратов некоторых двух последовательных натуральных чисел n, n+1 может быть равна квадрату некоторого натурального числа, т. е. равна числу вида (an+b)^2.
Тривиальный пример: 3^2+4^3=5^2.
В случае 5 посл. натуральных чисел сумма их квадратов равна 5n^2+20n+30=5(n^2+4n+6)=W_n.
Для того, чтобы число W_n было квадратом натурального числа, необходимо, чтобы n^2+4n+6 делилось на 5, но это не возможно, следовательно W_n нельзя представить в виде
(an+b)^2, где a и b целые числа.
(Сообщение отредактировал Roman Osipov 24 окт. 2008 21:55)
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 24 окт. 2008 21:54 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
Можно показать, что остатки числа вида n^2+4n+6 оканчиваются чисфрами:
(1,8,7,8,1,6,3,2,3,6),(1,8,7,8,1,6,3,2,3,6),...
(последовательность начиная с n=1).
Так как натуральное число делится нацело на 5, только если оно оканчивается цифрами 0 или 5, которых в данной посл. нет, то утверждение о том, что n^2+4n+6 не делится на 5, доказано.
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 24 окт. 2008 22:03 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Исходную задачу можно проще доказать.
А так как
n^2 = sum{k от 1 до n}(2k-1),
(n+1)^2 = sum{k от 1 до n+1}(2k-1),
(n+2)^2 = sum{k от 1 до n+2}(2k-1),
(n+3)^2 = sum{k от 1 до n+3}(2k-1),
(n+4)^2 = sum{k от 1 до n+4}(2k-1).
Просуммировав равенства, получаем:
5n^2+20n+30 =/= 5n^2 + 8n + 16.
Следовательно, не существуют пять последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых есть квадрат целого числа.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 24 окт. 2008 22:42 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
Все хорошо, если бы сумма сумм справа была найдена верно.
Если все сделаете верно, получите тривиальное равенство в результате таких ухищрений:
5n^2+20n+30 = 5n^2+20n+30.
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 24 окт. 2008 22:54 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Извиняюсь, Вы правы. Действительно неправильно посчитал суммы правых частей , это ж очевидно - чему они равны.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 24 окт. 2008 23:04 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
Ничего страшного.
Однажды академик Келдыш доказывал одну весьма трудную теорему ТФКП и в результате доказал теорему Пифагора.
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 24 окт. 2008 23:07 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
(Я задал исходный вопрос) Большое Вам спасибо! Оказалось всё весьма очевидно, как я сразу не догадался! Ещё раз спасибо.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 24 окт. 2008 23:25 | IP
|
|
|
Форум
Существуют ли пять последовательных натуральных чисел...
