Karidat
Новичок
|
    
Вычислить длину первого витка спирали Архимеда р=аф при помощи интеграла.
Задача была верно мной решена по формуле:
l=a/2(2ф(ф^2+1)^(1/2)+ln(ф+(ф^2+1)^(1/2)))
за величину угла было принято:
ф=2пи
Но преподаватель просит решить эту задачу при помощи интеграла.
Я совсем запуталась. К тому же времени уже совсем нет.
Помогите, пожулайста.
|
Всего сообщений: 1 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 6 окт. 2008 23:31 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Разумно, ведь формулу для l также следует каким-то образом получить в процессе решения.
Элемент длины в декартовых координатах как известно определяется как
dl = sqrt((dx)^2 + (dy)^2).
Формулы перехода в полярные координаты
x = r*cos(ф), y = r*sin(ф);
для дифференциалов получим
dx = dr*cos(ф) - r*sin(ф)*dф,
dy = dr*sin(ф) + r*cos(ф)*dф.
Подставляя эти соотношения в формулу для элемента длины в дек. координатах получим эл. длины в полярных:
dl = sqrt((dr)^2 + r^2 * (dф)^2) = sqrt((dr/dф)^2 + r^2)*dф.
Для спирали Архимеда зависимость r от ф линейная: r=a*ф.
Таким образом, для элемента длины имеем соотношение
dl = a*sqrt(1 + ф^2)*dф,
которое следует проинтегрировать от нуля до некоторого угла Ф (характеризующего обрыв витка, длина которого ищется); будем иметь
l = a*int[sqrt(1 + ф^2)*dф].
Последний интеграл берётся заменой ф=sh(t).
l = a*int[sqrt(1 + ф^2)*dф] = a*int[сh^2(t)*dt] = (a/2)*int[(сh(2t)+1)*dt] =
= (a/2)*[(1/2)*sh(2t) + t] = (a/2)*[sh(t)*ch(t) + t] =
= (a/2)*[ф*sqrt(ф^2 + 1) + arcsh(ф)].
Проставляя указанные выше пределы, получим
l(Ф) = (a/2)*[Ф*sqrt(Ф^2 + 1) + arcsh(Ф)],
или же, переписывая арксинус через логарифм
arcsh(Ф) = ln[Ф + sqrt(Ф^2 + 1)], можем окончательно записать
l(Ф) = (a/2)*{Ф*sqrt(Ф^2 + 1) + ln[Ф + sqrt(Ф^2 + 1)]}.
P.S. Кстати, обратите внимание... есть небольшое несовпадение с Вашей формулой - не должно быть коэффициента "2" в первом члене в фигурных скобках.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 7 окт. 2008 3:59 | IP
|
|
|
Форум
Спираль Архимеда и интеграл
