Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        Спираль Архимеда и интеграл
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Одна страница
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

Karidat


Новичок

Вычислить длину первого витка спирали Архимеда р=аф при помощи интеграла.
Задача была верно мной решена по формуле:
l=a/2(2ф(ф^2+1)^(1/2)+ln(ф+(ф^2+1)^(1/2)))
за величину угла было принято:
ф=2пи
Но преподаватель просит решить эту задачу при помощи интеграла.
Я совсем запуталась. К тому же времени уже совсем нет.
Помогите, пожулайста.

Всего сообщений: 1 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 6 окт. 2008 23:31 | IP
MEHT



Долгожитель

Разумно, ведь формулу для l также следует каким-то образом получить в процессе решения.

Элемент длины в декартовых координатах как известно определяется как
dl = sqrt((dx)^2 + (dy)^2).

Формулы перехода в полярные координаты
x = r*cos(ф),   y = r*sin(ф);

для дифференциалов получим

dx = dr*cos(ф) - r*sin(ф)*dф,
dy = dr*sin(ф) + r*cos(ф)*dф.

Подставляя эти соотношения в формулу для элемента длины в дек. координатах получим эл. длины в полярных:

dl = sqrt((dr)^2 + r^2 * (dф)^2) = sqrt((dr/dф)^2 + r^2)*dф.

Для спирали Архимеда зависимость r от ф линейная: r=a*ф.
Таким образом, для элемента длины имеем соотношение
dl = a*sqrt(1 + ф^2)*dф,
которое следует проинтегрировать от нуля до некоторого угла Ф (характеризующего обрыв витка, длина которого ищется); будем иметь

l = a*int[sqrt(1 + ф^2)*dф].

Последний интеграл берётся заменой ф=sh(t).

l = a*int[sqrt(1 + ф^2)*dф] = a*int[сh^2(t)*dt] = (a/2)*int[(сh(2t)+1)*dt] =
= (a/2)*[(1/2)*sh(2t) + t] = (a/2)*[sh(t)*ch(t) + t] =
= (a/2)*[ф*sqrt(ф^2 + 1) + arcsh(ф)].

Проставляя указанные выше пределы, получим

l(Ф) = (a/2)*[Ф*sqrt(Ф^2 + 1) + arcsh(Ф)],

или же, переписывая арксинус через логарифм

arcsh(Ф) = ln[Ф + sqrt(Ф^2 + 1)], можем окончательно записать

l(Ф) = (a/2)*{Ф*sqrt(Ф^2 + 1) + ln[Ф + sqrt(Ф^2 + 1)]}.

P.S. Кстати, обратите внимание... есть небольшое несовпадение с Вашей формулой - не должно быть коэффициента "2" в первом члене в фигурных скобках.

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 7 окт. 2008 3:59 | IP

Отправка ответа:
Имя пользователя   Вы зарегистрировались?
Пароль   Забыли пароль?
Сообщение

Использование HTML запрещено

Использование IkonCode разрешено

Смайлики разрешены

Опции отправки

Добавить подпись?
Получать ответы по e-mail?
Разрешить смайлики в этом сообщении?
Просмотреть сообщение перед отправкой? Да   Нет
 

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Одна страница

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com