Guest
Новичок
|
    
1) Найти длину кривой x^(2/3) + y^(2/3) = 4
2)Найти S поверхности тела вращения y=x^2, y=4 вокруг оси y
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 31 мая 2008 23:36 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
Найти длину дуги кривой x^(2/3) + y^(2/3) = R^(2/3)
Эта кривая называется астроидой и имеет вид бубнового туза, симметричного
относительно начала координат. Действительно, эта кривая симметрична
относительно обеих осей (ибо x и y входят под знаки кубических корней
в квадратах). Та часть кривой, которая лежит в первой четверти,
имеет уравнение y = (R^(2/3) - x(^2/3))^(3/2), так что x может
изменяться лишь от 0 до R, чему соответствует убывание y от R до 0.
y' = (3/2) * sqrt(R^(2/3) - x^(2/3)) * (-2/3 * x^(-1/3));
y' = -sqrt(R^(2/3) - x^(2/3)) * x^(-1/3).
Отсюда видно, что при 0 < x <= R кривая гладкая (ибо для этих x производная
непрерывна). Если x=R, то y'=0, а если x->0, то y'-> минус бесконечность.
Стало быть, астроида касается обеих осей.
y'^2 = R^(2/3)*x^(-2/3) - 1.
Отсюда длина дуги, лежащей в первой четверти, такова:
L = integral(sqrt(1+y'^2))dx в пределах от 0 до R,
или L = 3/2 * R, значит длина s всей астроиды равна 4*L = 6*R.
Для исходной задачи R = 8, так как 8^(2/3) = 4 и s = 48.
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 1 июня 2008 0:30 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
СПАСИБО!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 1 июня 2008 11:39 | IP
|
|
|
Форум
2 задачи!!!!!ПОМОГИТЕ!!
