Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        И снова функан...
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Одна страница
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

thurmit


Новичок

Опять требуется ваша помощь... 3 очередных малопонятных для меня задачи по функциональному анализу

1) Является ли непрерывным отображение f(x)=x(1), если оно рассматривается, как действующее из C[0,1] в R^1 ?

2) Докажите, что линейный функционал f непрерывен тогда и только тогда, когда Ker f замкнуто.

3) Определим в пространстве C[a,b] оператор К формулой , где k - некоторая заданная функция двух переменных. Является ли этот оператор линейным и непрерывным?

Спасибо всем, кто поможет с решением!

Всего сообщений: 5 | Присоединился: май 2008 | Отправлено: 27 мая 2008 18:49 | IP
SerRRehtaM



Новичок

1)Сходимость в C[0,1]- это равномерная сходимость. Из неё следует  поточечная сходимость. А значит функционал f- непрерывен(xn->x => f(xn)=xn(1)->x(1)=f(x)).
2)Необходимость имеет место(действительно, если xn-> x, то из f(xn)=0 => f(x)=0, когда f -непрерывен). Но вот достаточность, вообще говоря, - нет!(контрпример: функционал-производная в  какой-нибудь точке, действующий из C([0,1]) , хорошо известно, что он не ограниченный, а Ker f=R- замкнуто)
3) Это зависит от свойств k(t,s). Например если k непрерывна на [a,b]x[a,b], то функционал K непрерывный(ограниченный).

C уважением, Сергей.


(Сообщение отредактировал SerRRehtaM 27 мая 2008 23:54)

Всего сообщений: 7 | Присоединился: май 2008 | Отправлено: 27 мая 2008 23:49 | IP
thurmit


Новичок

Спасибо вам огромное, Сергей, уже второй раз выручаете!
Хотелось бы уточнить насчёт третьей задачи: выполняется ли здесь линейность? Касательно 1го свойства, у меня что-то не удалось посчитать, а 2е выполняется точно...
И насчёт  первой - нет ли второго способа? Просто задача лежит в разделе топологические пространства, а решаем через свойства метрических, если я правильно понимаю...


(Сообщение отредактировал thurmit 28 мая 2008 4:16)

Всего сообщений: 5 | Присоединился: май 2008 | Отправлено: 28 мая 2008 1:20 | IP
SerRRehtaM



Новичок

По поводу 3-ей задачи: Да, линейность есть в любом случае(независимо от того, какая k(s,t), лишь бы интеграл имел смысл). Это следует из линейности интеграла.
K(p*x+q*y)(t)=Int(k(t,s)*(p*x(s)+q*y(s)))=Int(p*k(t,s)*x(s)+q*k(t,s)*y(s))=p*K(x)(t)+q*K(y)(t).

По поводу 1-ой задачи: 1)в данном случае топология вводится с помощью метрики, поэтому всё честно.

Всего сообщений: 7 | Присоединился: май 2008 | Отправлено: 28 мая 2008 21:57 | IP
thurmit


Новичок

Фуу, сдал, хоть и не на максимум, но сдал... Спасибо ещё раз!

Всего сообщений: 5 | Присоединился: май 2008 | Отправлено: 29 мая 2008 19:40 | IP
MEHT



Долгожитель

Основная тема: Функциональный анализ

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 30 мая 2008 4:04 | IP

Эта тема закрыта, новые ответы не принимаются

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Одна страница

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com