thurmit
Новичок
|
   
Опять требуется ваша помощь... 3 очередных малопонятных для меня задачи по функциональному анализу
1) Является ли непрерывным отображение f(x)=x(1), если оно рассматривается, как действующее из C[0,1] в R^1 ?
2) Докажите, что линейный функционал f непрерывен тогда и только тогда, когда Ker f замкнуто.
3) Определим в пространстве C[a,b] оператор К формулой  , где k - некоторая заданная функция двух переменных. Является ли этот оператор линейным и непрерывным?
Спасибо всем, кто поможет с решением!
|
Всего сообщений: 5 | Присоединился: май 2008 | Отправлено: 27 мая 2008 18:49 | IP
|
|
SerRRehtaM
Новичок
|
  
1)Сходимость в C[0,1]- это равномерная сходимость. Из неё следует поточечная сходимость. А значит функционал f- непрерывен(xn->x => f(xn)=xn(1)->x(1)=f(x)).
2)Необходимость имеет место(действительно, если xn-> x, то из f(xn)=0 => f(x)=0, когда f -непрерывен). Но вот достаточность, вообще говоря, - нет!(контрпример: функционал-производная в какой-нибудь точке, действующий из C([0,1]) , хорошо известно, что он не ограниченный, а Ker f=R- замкнуто)
3) Это зависит от свойств k(t,s). Например если k непрерывна на [a,b]x[a,b], то функционал K непрерывный(ограниченный).
C уважением, Сергей.
(Сообщение отредактировал SerRRehtaM 27 мая 2008 23:54)
|
Всего сообщений: 7 | Присоединился: май 2008 | Отправлено: 27 мая 2008 23:49 | IP
|
|
thurmit
Новичок
|
Спасибо вам огромное, Сергей, уже второй раз выручаете!
Хотелось бы уточнить насчёт третьей задачи: выполняется ли здесь линейность? Касательно 1го свойства, у меня что-то не удалось посчитать, а 2е выполняется точно...
И насчёт первой - нет ли второго способа? Просто задача лежит в разделе топологические пространства, а решаем через свойства метрических, если я правильно понимаю... 
(Сообщение отредактировал thurmit 28 мая 2008 4:16)
|
Всего сообщений: 5 | Присоединился: май 2008 | Отправлено: 28 мая 2008 1:20 | IP
|
|
SerRRehtaM
Новичок
|
По поводу 3-ей задачи: Да, линейность есть в любом случае(независимо от того, какая k(s,t), лишь бы интеграл имел смысл). Это следует из линейности интеграла.
K(p*x+q*y)(t)=Int(k(t,s)*(p*x(s)+q*y(s)))=Int(p*k(t,s)*x(s)+q*k(t,s)*y(s))=p*K(x)(t)+q*K(y)(t).
По поводу 1-ой задачи: 1)в данном случае топология вводится с помощью метрики, поэтому всё честно.
|
Всего сообщений: 7 | Присоединился: май 2008 | Отправлено: 28 мая 2008 21:57 | IP
|
|
thurmit
Новичок
|
Фуу, сдал, хоть и не на максимум, но сдал... Спасибо ещё раз!
|
Всего сообщений: 5 | Присоединился: май 2008 | Отправлено: 29 мая 2008 19:40 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Основная тема: Функциональный анализ
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 30 мая 2008 4:04 | IP
|
|
|
Форум
И снова функан...
