Konstantin Davydyuk
Новичок
|
     
Сообщение №24470 от Константин Давидюк , 28 апреля 2008 г. 12:48:
Метрическая схема доказательства счетности действительных чисел.
Регистрационный номер: №243 В-2008 от 25.03.2008г.
Введение.
В данной работе приводится метрическая схема доказательства счетности действительных чисел (N↔R).. Поскольку каждому действительному числу от 0 до 1 соответствует точка отрезка [0, 1], мы будем называть точки отрезка числами.
Обозначения:
↔ эквивалентно (равномощно)
→ знак соответствует
N множество натуральных чисел
R множество действительных чисел
[0, 1] отрезок от 0 до 1
+ операция объединения
Разбиение отрезка.
Возьмем любое натуральное число n большее 0 и 1. Пусть это будет число 2. Схема подходит для любого натурального числа: достаточно вместо числа 2 подставить любое другое натуральное число большее 0 и 1. Далее разобьем отрезок на две части (необязательно равные). Для наглядности будем в дальнейшем разбивать на равные части. Каждый из получившихся отрезков снова разобьем на 2 части и т.д. В результате получим следующую последовательность систем отрезков:
А1= ([0, 1/2]; [1/2, 1]) – 1-ый этап,
А2 = ([0, 1/4]; [1/4, 2/4]; [2/4, 3/4]; [3/4, 1]) – 2-ой этап,
:
Аn= ([0, 1 / 2^n]; … [2^n – 1 / 2^n, 1]) – n-ый этап
и т.д.
При неограниченном увеличении n обозначим через Ар результат предельного перехода (n →∞).
Рассмотрим отрезок [m / 2^n; m +1 / 2^n] где 0 ≤ m ≤ 2^n - 1. Этот отрезок удовлетворяет следующим условиям:
1. При стремлении n к бесконечности концы отрезка имеют пределом одно и то же действительное число x (отрезок стягивается в точку).
2. Длина этого отрезка стремится к 0, при стремлении n к бесконечности.
Счетность множества действительных чисел.
Если мы устремим n к бесконечности, то отрезок [m / 2^n, m+1 / 2^n] будет иметь своим пределом отрезок типа [x, x], где число x лежит между 0 и 1 (0≤ x ≤1) по построению. С другой стороны, для любого x (0≤ x ≤1) каждый отрезок типа [x, x] будет результатом стягивания концов одного из отрезков в построении, так как на каждом этапе n система отрезков An полностью покрывает отрезок [0, 1]:
[0, 1 / 2^n]+ …+ [2^n -1 / 2^n, 1] = [0, 1].
Итак, результат предельного перехода - система Ар отрезков типа [x, x] длины 0, для любого x (0≤ x ≤1). На каждом этапе n система Аn имеет 2^n элементов (система конечна), значит, система Ар, как результат последовательности конечных систем,- не более чем счетна (счетна). Далее, отрезку [x, x] можно поставить в соответствие число x, для этого надо взять функцию F: [x, x] → x. Функция F устанавливает взаимнооднозначное соответствие между счетной системой Ар и действительными числами отрезка [0, 1]. А это, в свою очередь, означает счетность множества действительных чисел. Если в рассмотрении использовать функцию G: [х, х] → х, где х – точка, то получаем доказательство счетности точек отрезка.
В доказательстве мы опирались на понятие длины отрезка (метрическое понятие). Поэтому построение носит название метрической схемы.
О ложности метода Кантора.
Рассмотрим указанную выше схему для n = 10 (разбиение кратное 10), где х принадлежит отрезку [0, 1]. Любой отрезок [х, х], можно представить как предел вложенных отрезков (см. построение); число x - как предел последовательности левых концов этих отрезков (можно рассматривать правые концы). Обозначим через А систему всех таких последовательностей. Таким образом, любое число х можно представить как предел последовательности, которая является элементом системы А:
0, а1; 0, а1,а2; 0, а1,а2,а3…→ х *
В доказательстве о несчетности Кантор отождествляет последовательность и ее предел, записывая это так: 0, а1, а2, а3, … (!)
Метод Кантора, примененный к системе А, дает последовательность, которая будет последовательностью выше указанного типа (*). Ее пределом будет некоторое число х отрезка [0, 1]. Но для этого числа х уже есть сходящаяся к нему последовательность (по разбиению). Таким образом, чтобы доказать свое предположение о несчетности действительных чисел, Кантор допускает две ошибки:
1. Отождествляет два различных понятия (последовательности и ее предела), забывая о том, что для одного и того же действительного числа х существует большое количество последовательностей, сходящихся к этому числу.
2. Построенная методом Кантора последовательность дублирует одну из исходных т.е. принадлежит А (см. построение А).
Исходя из сказанного, метод Кантора дает последовательность (ее предел - х), которой нет в списке (ряду последовательностей) только в том случае, когда список составлен специальным образом. При этом в списке все равно будет такая последовательность, которая имеет своим пределом число х. Это заблуждение Кантора рассмотрено также на теоритико-множественном уровне в работе «Отсутствие мощности континуума и счетность множества действительных чисел».
Выводы.
1. Доказана счетность множества действительных чисел метрическим способом (способ разбиения отрезка на части).
2. Указано на ошибки в доказательстве Кантора о несчетности с метрической точки зрения.
|
Всего сообщений: 5 | Присоединился: апрель 2008 | Отправлено: 28 апр. 2008 13:03 | IP
|
|
Konstantin Davydyuk
Новичок
|
Теорема. Любая последовательность конечных множеств имеет своим пределом множество, которое не более чем счетно (счетно).
Доказательство: Рассмотрим возрастающую последовательность конечных множеств:
А1, А2, А3....... (предел равен А)
Если предыдущее множество не входит в последуешее , то создадим новую. Для этого выделяем любое подмножество из А2 равное по количеству А1 и заменяем его элементы на элементы А1. И т.д. В результате мы придем к последовательности, которая удовлетворяет правилу включения:
В1, В2, В3.... (предел равен В)
Предел новой последовательности, вообще, отличается от А. Обозначим его через В. По построению множество В инъективно А.
Далее упорядочиваем элементы этих множеств (мы упорядочиваем элементы множеств В1, В2...) так, чтобы порядок в последующем был продолжением (включал в себя) предыдущего. Таким образом мы создаем нумерацию элементов множеств, где на каждом шаге у нас появляется n элементов (n -конечно и для каждого шага различно или равно). Нам остается их пронумеровать (присвоить номера). В отличие от аксиомы №5 у нас на каждом этапе появляется не один элемент, а несколько. Естественно мы можем любой этап, где добавляется n элементов, разложить в n подэтапов. В результате наша последовательность "удлинится", но предел множеств будет таким же (В). В силу аксиомы №5 количество Элементов В - счетно. Значит счетно и А.
Резюмируя можно сказать так:
1. берем последовательность множеств.
2. приводим ее к вложенной последовательности (это не ограничевает общности, поскольку нас интересует количество).
3. "удлиняем" последовательность так, чтобы на каждом этапе появлялся один элемент.
4. применяем аксиому о натуральной мощности, №5.
Можно опредилить Вn как сумму от А1 до Аn (включительно), тогда теорема будет доказываться в условиях, что мощность Вn больше-равна Аn.
|
Всего сообщений: 5 | Присоединился: апрель 2008 | Отправлено: 28 апр. 2008 15:19 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Но ведь устремлять n к бесконечности можно по разному.
Отрезок
[m/(2^n);(m+1)/2^n)]
при больших n представляет собой не точку, а некоторый малый отрезок
[x;x+dx], где малость dx порядка 2^(-n). Причём не очевидно, что множество точек этого малого отрезка счётно (на любом сколь угодно малом отрезке содержиться бесконечно большое количество точек отображающих некоторые действительные числа), чтобы так взять всё объединить и результат объединения назвать счётным.
p.s. При такой логике рассуждений доказательства можно, например, сказать, что частное двух бесконечно больших всегда существует и конечно. Но ведь это не верно!
(Сообщение отредактировал MEHT 28 апр. 2008 16:22)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 28 апр. 2008 16:12 | IP
|
|
Konstantin Davydyuk
Новичок
|
Почитайте теорию пределов. Особенно обратите внимание на то, что такое предел. Например Кудрявцева.
|
Всего сообщений: 5 | Присоединился: апрель 2008 | Отправлено: 28 апр. 2008 16:50 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Я только указал Вам на сомнительный момент в вышеприведённом доказательстве. А Вы уже так пренебрежительно реагируете.
Распишу подробней.
Рассматривая множество натуральных чисел N, можно сказать, что количество элементов в нём бесконечно велико. Формально обозначим как N ~ +oo.
Рассматривая теперь множество всех действительных чисел, можно также сказать, что количество элементов в нем бесконечно +oo.
Но ведь эти бесконечно большие величины разных порядков!
Разбивая отрезок [0;1] как [0;1/2^n]U[1/2^n;2/2^n]U...U[(2^n-1)/2^n;1],
т.е. на 2^n малых отрезков. В кажом из таких малых отрезков содержится
M ~ +oo точек каждая из которых отображает некоторое своё действительное число. Суммируя по всем этим малым элементам получим, что отрезок [0;1] включает в себя порядка М*2^n элементов (точек).
А теперь, пожалуйста, покажите, что при устремлении n к бесконечности величина М*2^n ~ +oo будет того же порядка что и N ~ +oo.
Если этот самый нюанс Вы не сможете этого разъяснить - Ваше доказательство шито белыми нитками и Кантор был "обижен" напрасно... 
(Сообщение отредактировал MEHT 29 апр. 2008 17:23)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 28 апр. 2008 17:49 | IP
|
|
Roman Osipov 
Долгожитель
|
  
Попыток опровергнуть теорему Кантора о несчетности R существует масса, но все они так или иначе являются хитроумными софизмами.
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 28 апр. 2008 18:07 | IP
|
|
Konstantin Davydyuk
Новичок
|
У меня есть еще одно доказательство: теоритико-множественное. Там показано как метод катора вступает в противоречие с аксиоматикой теории множестив. Смотрите на Рапидшаре.
|
Всего сообщений: 5 | Присоединился: апрель 2008 | Отправлено: 30 апр. 2008 8:38 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
Написали бы ссылку
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 30 апр. 2008 8:50 | IP
|
|
Konstantin Davydyuk
Новичок
|
Закажите по инету в ВИНИТИ
"Отсутствие мощности континуума и счетность действительных чисел" № 1343 В-2006
|
Всего сообщений: 5 | Присоединился: апрель 2008 | Отправлено: 30 апр. 2008 11:24 | IP
|
|
|
Форум
Счетность множества действительных чисел
