igorp
Удален
|
    
предлагается средствами ЭЛЕМЕНТАРНОЙ математики вычислить предел (sinx-x)/x^3, x стремится к 0.
(Сообщение отредактировал igorp 12 нояб. 2004 11:42)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 11 нояб. 2004 22:20 | IP
|
|
dm
Удален
|
Лопиталь, надо полагать, математика не элементарная?
То есть предлагается доказать неравенство элементарными средствами?
x+(-1/6-epsilon)x^3<sin(x)<x+(-1/6+epsilon)x^3, |x|<delta(epsilon).
(Сообщение отредактировал dm 12 нояб. 2004 11:49)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 12 нояб. 2004 0:03 | IP
|
|
igorp
Удален
|
имеется в виду без производных, Лопиталя и Тейлора вычислить предел, а не доказать данное неравенство.
(Сообщение отредактировал igorp 12 нояб. 2004 11:40)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 12 нояб. 2004 11:39 | IP
|
|
dm
Удален
|
Собственно, это одно и то же (с учетом исправлений).
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 12 нояб. 2004 12:52 | IP
|
|
From Jerusalem
Удален
|
0 < X < Pi/2
1) sinX < X < tgX - это из геометрии
=> cosX< sinX/X < 1 => sinX/X -> 1 , при X->0
2) 0 < 1 - sinX/X < 1-cosX = 2sin(X/2)*sin(X/2)
=> 0 < (X-sinX)/X^3 < 2sin(X/2)*sin(X/2)/X^2 < 1/2
Пусть F(X) = (X-sinX)/X^3
Тогда
F(X) = 1/4 F(X/2) + 4 sin(X/2)*sin(X/4)*sin(X/4)/X^3
=> F(X) - 1/4 F(X/2) -> 1/8 , при X->0
Отсюда следует, что если существует конечный предел F(X) при X->0 , т.е F(X)->C , то C = 1/6
Рассмотрим
G(X) = F(X) - 1/6
и
H(X) = G(X) - 1/4 G(X/2)
Имеем |G(X)| < 1/3 { вытекает из 2) }
H(X)->0
Задали epsilon.
Выбираем N так, что 1/(4^N) < epsilon;
delta выберем так, что при 0< X < delta
|H(X)| < epsilon/2
Тогда имеем
G(X) = 1/4 G(X/2) + H(X) =
= 1/16 G(X/4) + 1/4 H(X/2) + H(X) =
...
= 1/4^N G(X/2^N) + H(X) + 1/4H(X/2) + ...
... +1/(4^N-1) H(X/2^(N-1))
=> |G(X)| < 1/4^N * 1/3 + 4/3 * epsilon/2 < epsilon
т.е G(X)->0
Все.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 12 нояб. 2004 22:37 | IP
|
|
|
Форум
элементарный предел
