Tarantol
Новичок
|
      
Если кто может пожалуйста решить задания:
1. Определить вид треугольника , если его медианы равны:3, корень из 52, корень из 73.
2. Через точку внутри треугольника ABC со сторонами AB=c,
АС=b, BC=a провели три отрезка, паралельных сторонам треугольника. Оказалось, что все три отрезка имеют одинаковую длину x. Найдите x.
3. Эта олимпиадная:
На конгрессе собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что никакие двое учёных, имеющих на конгрессе равное число друзей, а не имеют общих друзей. Найдётся ли среди них учёный, у которого ровно один друг?
Всем заранее спасибо! Если сможете решить помогите!
|
Всего сообщений: 1 | Присоединился: февраль 2008 | Отправлено: 29 фев. 2008 20:08 | IP
|
|
llorin1
Участник
|
1. Пусть в тр. ABC медиана BD=3 и M – точка пересечения медиан.
Воспользуемся утверждением: ABC – тупоугольный, если BD<AC/2.
Рассмотрим тр. AMC, в котором стороны AM и MC равны 2/3 от медиан sqrt(52) и sqrt(73), а медиана MD=1. Тогда AC^2=2 AM^2 + 2 MC^2 - 4 MD^2 = 2(2/3)^2(52+73)-4> 4*3^2, т.е. AC^2 > 4 BD^2.
2. Рассмотрим отрезок длины x, параллельный стороне AC=b. Пусть он делится данной точкой на два отрезка с длинами y и z (отрезок y пересекается со стороной AB=c, и отрезок z - со стороной BC=a), y+z=x. Из подобия соответствующих треугольников, находим (b-z)/b = x/a, (b-y)/b = x/c. Откуда x = (2 a b c)/(a b + a c + b c).
3. Выделим ученого Y c наибольшим числом друзей n. Если таких ученых несколько, то – любого.
Предположим, что каждый из этих n друзей не имеет ровно одного друга, т.е. каждый из n друзей может иметь либо 2, либо 3, . . ., либо n друга, т.к. n - наибольшее.
Таким образом, каждый из n друзей ученого Y может иметь не более n-1 вариантов числа друзей. Поэтому найдутся два ученых с одинаковым числом друзей, и среди них есть ученый Y. Что противоречит условию.
Значит, среди друзей ученого Y есть ученые, имеющие одного друга.
|
Всего сообщений: 147 | Присоединился: июнь 2006 | Отправлено: 1 марта 2008 10:45 | IP
|
|
|
Форум
Пожалуйста помогите решить
