Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        Неравенство
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Одна страница
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

Guest



Новичок

Пожалуйста, подскажите какими методами доказать следующие неравенства:
1. ln[(x+y)/(2xy)] >= (x+y)/(4xy) - 1/(x+y), x >1, y >1.
2. e + 1/e - (ln^e(x))/x >= xlnx, x E [1,e].

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 10 нояб. 2007 23:28 | IP
Guest



Новичок

Народ подскажите хотя бы литературу с примерами, пожалуйста!!!
Препод сказал: "Используйте производную..."; ну и использую, а дальше у меня ничего не получается, может надо воспользоваться какими-то известными неравенствами?

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 11 нояб. 2007 20:02 | IP
MEHT



Долгожитель

Первое неравенство записано неправильно. Наверно следует так
ln[(x+y)/(2xy)] <= (x+y)/(4xy) - 1/(x+y), x >1, y >1.

Тогда, переписав его в виде

ln[(x+y)/(2xy)] - (x+y)/(4xy) + 1/(x+y) <= 0,

обозначаете левую часть как

f(x) = ln[(x+y)/(2xy)] - (x+y)/(4xy) + 1/(x+y), где y - параметр.

Теперь, подставляя сюда x=1 при y=1 получаете f=0, т.е. проверяете справедливость неравенства в точке
x=1, y=1.


Для доказательства неравенства f(x) <= 0 можно показать, что эта функция монотонна (убывает) на x>1 для любого y>1. Для этого ищите производную от f(x), приравниваете её к нулю, находите экстремумы. Далее записываете интервалы её монотонности и проверяете, что на x>1 (для любого y>1) функция действительно убывает.


Второе неравенство доказывается аналогично. Записываете его в виде

e + 1/e - [(ln^e(x))/x - xlnx] >= 0 или f(x) >= 0, где

f(x) = e + 1/e - [(ln^e(x))/x - xlnx].

Проверяте справедливость этого неравенства на концах заданного интервала, т.е. что

f(0) >= 0 и f(e) >= 0.

Теперь ищите производную f'(x) и доказываете, что на заданном интервале она не меняет знака, т.е. по сути дела доказываете монотонность f(x) на x E [1,e].

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 13 нояб. 2007 13:23 | IP
MEHT



Долгожитель

Вообще же, основная тема по неравенствам здесь:
Неравенства

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 13 нояб. 2007 13:24 | IP

Эта тема закрыта, новые ответы не принимаются

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Одна страница

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com