Guest
Новичок
|
    
Вот одна из задач:
Продолжения медиан АМ и ВК треугольника АВС пересекают описанную около него окружность в точках E и F соответственно, причём АЕ:АМ=2:1, BF:BK=3:2. Найти углы треугольника АВС.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 13 окт. 2007 23:42 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
Как легко заметить, из соотношения AE/AM = 2/1 следует AM = ME.
Предположим, что центр O описанной окружности не совпадает с
точкой M. Соединим центр O с точкой M и воспользуемся очевидным
фактом, что диаметр окружности, проходящей через середину любой
хорды, перпендикулярен этой хорде. В нашем случае OM перпендикулярно
BC и одновременно OM перпендикулярно AE. Но такое невозможно
в силу постулата о параллельных прямых, поэтому делаем вывод,
что центр описанной окружности совпадает с точкой M. Следовательно,
треугольник BAC - прямоугольный и один угол BAC уже определен
и равен 90 градусов.
Из соотношения BF/BK = 3/2 следует BK = 2FK. Пусть FK = x, BK = 2x,
AK = KC = y. По свойству пересекающихся хорд 2x*x = y * y,
откуда y = x*sqrt(2). По теореме Пифагора для треугольника BAK
получаем AB = sqrt(4x*x - y*y) = x*sqrt(2), т.е. AB = AK = KC.
Таким образом, у прямоугольного треугольника BAC катет AC в два
раза больше катета AB и тогда угол BAC = arctg(1/2),
угол ABC = arctg(2).
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 18 окт. 2007 14:47 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
СПАСИБО!
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 18 окт. 2007 17:07 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Цитата: Guest написал 18 окт. 2007 17:07
СПАСИБО!
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 20 окт. 2007 0:05 | IP
|
|
|
Форум
Планиметрические задачи
