Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        Поворот в н-мерном пространстве
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Одна страница
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

Guest



Новичок

Возникла необходимость найти матрицу поворота в н-мерном пространстве. Поворот должен быть такой, чтобы центральная ось (например, в 3-х мерном пр-ве (1, 1, 1) перешла в (0, 0, 1), и соответственно плоскость перпендикулярная оси (1, 1, 1) стала плоскостью перпендикулярной оси (0, 0, 1) или параллельна пл-ти (x, y, 0)).
По идее, эта результирующая матрица, должна быть произведением матриц простых поворотов (вокруг одной оси), на подобии
|а –а 0 |
|а   а 0 |
|0   0 1 |
Где а = 1/корень(2) Т.е. поворот вокруг оси Ox  на 45 градусов, далее поворот вокруг Oz на 45 градусов, ну и т.д.

Но почему-то таким путем, мне не удалось найти результирующую матрицу. Стал искать методом от обратного (зная какой вид должна иметь результирующая матрица).
И для 3-х мерного случая нашел:
| 1                    0                       -1                 |
| 1/кор(3)         -2/кор(3)         1/кор(3)         |
| кор(2)/кор(3)  кор(2)/кор(3)  кор(2)/кор(3)|
И для 4-х мерного:
| -a  a  a -a |
| -a  a -a  a |
|  a  a -a -a |
|  a  a  a  a |
Где а = 1/корень(4)
Правильны ли эти матрицы? Т.е. удовлетворяют ли они поставленной задаче? И как найти матрицу для 6-ти мерного случая, т.к. исходно нужна была именно для 6? И почему матрицы для 3-х и для 4-х мерных случаев, не описывается произведением матриц простых поворотов (вокруг одной оси)?
Был бы очень благодарен, если кто поможет разобраться в этом.
Заранее большое спасибо.

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 4 апр. 2007 13:18 | IP
MEHT



Долгожитель

Попробуйте исходить из общего. Хотя не избежать громозкости...

Каждый из поворотов можно рассматривать как последовательные повороты в координатных плоскостях.
Например, поворот на угол a в плоскости XOY осуществляется матрицей

cos(a)  sin(a)
-sin(a)  cos(a)

Поворот в трехмерном пространстве OXYZ можно рассматривать как 3 последовательных поворота
на углы a, b, c, соответственно, в плоскостях
YOZ (поворот вокруг оси X на угол a),
ZOX (поворот вокруг оси Y на угол b),
XOY (поворот вокруг оси Z на угол c).


Соответствующие матрицы будут
для первого поворота:

1     0          0
0   cos(a)   sin(a)
0  -sin(a)   cos(a)

для второго поворота:

cos(b)     0      sin(b)
 0           1        0
-sin(b)     0      cos(b)

для третьего поворота:

cos(с)   sin(с)   0
-sin(с)   cos(с)   0
  0          0        1

Последовательное перемножение дает матрицу поворота в 3-х мерном пространстве.
(Обратите внимание, - именно последовательное перемножение, ибо матрицы конечных поворотов не коммутируют).

Аналогично строится матрица поворота в n-мерном пространстве.
В частности, для 4-х мерного пространства нужно рассмотреть повороты в 6 плоскостях,
для 5-мерного - в 10 плоскостях,
для 6-мерного - в 15 плоскостях,
------
для n-мерного - в n!/[(n-2)!*2] плоскостях.

Перемножать 15 матриц размера 6 на 6 дело довольно муторное... хотя можете попробовать


(Сообщение отредактировал MEHT 7 апр. 2007 3:08)

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 7 апр. 2007 3:07 | IP

Отправка ответа:
Имя пользователя   Вы зарегистрировались?
Пароль   Забыли пароль?
Сообщение

Использование HTML запрещено

Использование IkonCode разрешено

Смайлики разрешены

Опции отправки

Добавить подпись?
Получать ответы по e-mail?
Разрешить смайлики в этом сообщении?
Просмотреть сообщение перед отправкой? Да   Нет
 

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Одна страница

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com