Guest
Новичок
|
    
Возникла необходимость найти матрицу поворота в н-мерном пространстве. Поворот должен быть такой, чтобы центральная ось (например, в 3-х мерном пр-ве (1, 1, 1) перешла в (0, 0, 1), и соответственно плоскость перпендикулярная оси (1, 1, 1) стала плоскостью перпендикулярной оси (0, 0, 1) или параллельна пл-ти (x, y, 0)).
По идее, эта результирующая матрица, должна быть произведением матриц простых поворотов (вокруг одной оси), на подобии
|а –а 0 |
|а а 0 |
|0 0 1 |
Где а = 1/корень(2) Т.е. поворот вокруг оси Ox на 45 градусов, далее поворот вокруг Oz на 45 градусов, ну и т.д.
Но почему-то таким путем, мне не удалось найти результирующую матрицу. Стал искать методом от обратного (зная какой вид должна иметь результирующая матрица).
И для 3-х мерного случая нашел:
| 1 0 -1 |
| 1/кор(3) -2/кор(3) 1/кор(3) |
| кор(2)/кор(3) кор(2)/кор(3) кор(2)/кор(3)|
И для 4-х мерного:
| -a a a -a |
| -a a -a a |
| a a -a -a |
| a a a a |
Где а = 1/корень(4)
Правильны ли эти матрицы? Т.е. удовлетворяют ли они поставленной задаче? И как найти матрицу для 6-ти мерного случая, т.к. исходно нужна была именно для 6? И почему матрицы для 3-х и для 4-х мерных случаев, не описывается произведением матриц простых поворотов (вокруг одной оси)?
Был бы очень благодарен, если кто поможет разобраться в этом.
Заранее большое спасибо.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 4 апр. 2007 13:18 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Попробуйте исходить из общего. Хотя не избежать громозкости...
Каждый из поворотов можно рассматривать как последовательные повороты в координатных плоскостях.
Например, поворот на угол a в плоскости XOY осуществляется матрицей
cos(a) sin(a)
-sin(a) cos(a)
Поворот в трехмерном пространстве OXYZ можно рассматривать как 3 последовательных поворота
на углы a, b, c, соответственно, в плоскостях
YOZ (поворот вокруг оси X на угол a),
ZOX (поворот вокруг оси Y на угол b),
XOY (поворот вокруг оси Z на угол c).
Соответствующие матрицы будут
для первого поворота:
1 0 0
0 cos(a) sin(a)
0 -sin(a) cos(a)
для второго поворота:
cos(b) 0 sin(b)
0 1 0
-sin(b) 0 cos(b)
для третьего поворота:
cos(с) sin(с) 0
-sin(с) cos(с) 0
0 0 1
Последовательное перемножение дает матрицу поворота в 3-х мерном пространстве.
(Обратите внимание, - именно последовательное перемножение, ибо матрицы конечных поворотов не коммутируют).
Аналогично строится матрица поворота в n-мерном пространстве.
В частности, для 4-х мерного пространства нужно рассмотреть повороты в 6 плоскостях,
для 5-мерного - в 10 плоскостях,
для 6-мерного - в 15 плоскостях,
------
для n-мерного - в n!/[(n-2)!*2] плоскостях.
Перемножать 15 матриц размера 6 на 6 дело довольно муторное... хотя можете попробовать 
(Сообщение отредактировал MEHT 7 апр. 2007 3:08)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 7 апр. 2007 3:07 | IP
|
|
|
Форум
Поворот в н-мерном пространстве
