undeddy
Долгожитель
|
     
При каких а среди решений следующего неравенства есть единственное целое число?
2x^2 - (6a-5)x <= 3a - 2
|
Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 14 фев. 2007 13:21 | IP
|
|
Wave
Удален
|
Итак, решаем как стандартное параметрическое уравнение, D =(2a-1)^2, X1 = 2a - 3/2; X2 = a-1.
Итак, получаем 2 промежутка в решении, если нужно 1 целочисленное решение, тогда решаем 2 системки, 1. X1>X2, => X1-1<X2 и 2. X2>X1 => X2-1<X1, решая их получаем 1. a>0,5, a<1,5 2. a>-0,5, a<0,5
Системки были в совокупности, => a принадлежит
(-0,5;1,5)/{0,5}
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 14 фев. 2007 14:22 | IP
|
|
undeddy
Долгожитель
|
Ваше решение неверно. Возьмите, например, a=0. У меня решением вышло:
a E (0; 1/3] U [2/3; 1)
|
Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 14 фев. 2007 16:55 | IP
|
|
Wave
Удален
|
интересно было бы увидеть решение, возьмите например
а = -0,5, тогда решение - промежуток [-1,75;-1] => подходит условию. Как я понял, необходимо чтобы разность корней была меньше 2 но больше 1, однако у меня почему то вразумительного ничего не получилось...
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 14 фев. 2007 20:13 | IP
|
|
undeddy
Долгожитель
|
Вы ошиблись. При a = -0.5 решением неравенств будет являться промежуток [-3.5; -0.5], что не подходит. Я решал бы все-таки графически (или хотя бы на числовой оси для наглядности). После упрощения исходного неравенства я получил: (2x+1)(x+2-3a) <=0 . Отсюда видно, что ЛЮбОЙ промежуток, являющийся решением являет собой один из концов число -0.5. Дальше уже накладываем условия на a....
|
Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 14 фев. 2007 20:54 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Wave, у Вас ошибочно найдены корни...
Цитата: undeddy написал 14 фев. 2007 16:55
У меня решением вышло:
a E (0; 1/3] U [2/3; 1)
undeddy, а как Вы исключили интервал (1/3 ; 2/3) ?
Приведу такое решение.
Имеем неравенство
2x^2 - (6a-5)x <= 3a - 2,
или перенося все в левую часть
2x^2 - (6a-5)x - (3a - 2) <= 0.
Находим корни квадратного трехчлена:
дискриминант есть
D=(6a-5)^2 + 8*(3a - 2) = 9*(2a-1)^2,
следовательно,
(x1,2) = [(6*a-5) +- 3 * |2*a-1|] /4.
Теперь рассмотрим 2 случая: когда
(2*a-1) >= 0 и когда
(2*a-1) < 0.
1) Пусть (2*a-1) >= 0 или, что то же самое, a >= 0,5.
Тогда
x1 = 3*a - 2,
x2 = -0,5.
Для x имеем
x2 <= x <= x1, или
-0,5 <= x <= 3*a - 2.
2) Пусть (2*a-1) < 0 или, что то же самое, a < 0,5.
Тогда
x1 = -0,5,
x2 = 3*a - 2.
Для x имеем
x2 <= x <= x1, или
3*a - 2 <= x <= -0,5.
Таким образом, решение параметрического неравенства можно записать в общем виде:
-0,5 <= x <= 3*a - 2, если a >= 0,5;
3*a - 2 <= x <= -0,5, если a < 0,5.
По условию задачи среди решений исходного неравенства должно присутствовать единственное целое число. В случае
a >= 0,5
этим единтвенным целым числом может быть только x=0,
в случае же
a < 0,5,
этим единтвенным целым числом будет только x=-1.
Следовательно можем записать
-0,5 <= x <= 3*a - 2 < 1, если a >= 0,5,
-2 < 3*a - 2 <= x <= -0,5, если a < 0,5,
откуда из первого получаем
0,5 <= a < 1,
из второго соответственно
0 < a < 0,5.
Объединяя полученные результаты, записываем решение
0 < a < 1.
(Сообщение отредактировал MEHT 14 фев. 2007 23:59)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 14 фев. 2007 23:46 | IP
|
|
undeddy
Долгожитель
|
2MENT
Возьмите, к примеру, значение a = 4/9 -> в ответе (промежутке) не будет ни одного целого числа. И a = 0.5 тоже не подходит...
|
Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 15 фев. 2007 5:41 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: undeddy написал 15 фев. 2007 5:41
2MENT
Возьмите, к примеру, значение a = 4/9 -> в ответе (промежутке) не будет ни одного целого числа. И a = 0.5 тоже не подходит...
Благодарю за ответ. Да, действительно, ввел в заблуждение. Вместо
Цитата: MEHT написал 14 фев. 2007 23:46
...
Следовательно можем записать
-0,5 <= x <= 3*a - 2 < 1, если a >= 0,5,
-2 < 3*a - 2 <= x <= -0,5, если a < 0,5,
...
следует еще ограничить неравенства как
-0,5 <= x <= 0 <= 3*a - 2 < 1, если a >= 0,5,
-2 < 3*a - 2 <= -1 <= x <= -0,5, если a < 0,5,
или для параметра a:
0 <= 3*a - 2 < 1, если a >= 0,5,
-2 < 3*a - 2 <= -1, если a < 0,5,
что эквивалентно
2/3 <= a < 1,
0 <= a < 1/3,
что полностью совпадает с Вашим решением.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 15 фев. 2007 6:06 | IP
|
|
undeddy
Долгожитель
|
В таких задачах легко ошибиться: нужно внимательно следить за всеми условиями. В этом-то и состоит основная их сложность, на мой взгляд, помимо логических трудностей. 
|
Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 15 фев. 2007 6:39 | IP
|
|
|
Форум
Задача с параметром
