Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        Задача с параметром
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Одна страница
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

undeddy



Долгожитель

При каких а среди решений следующего неравенства есть единственное целое число?

2x^2 - (6a-5)x <= 3a - 2

-----
Всему свойcтвенна своя справедливость.

Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 14 фев. 2007 13:21 | IP
Wave


Удален

Итак, решаем как стандартное параметрическое уравнение, D =(2a-1)^2, X1 = 2a - 3/2; X2 = a-1.
Итак, получаем 2 промежутка в решении, если нужно 1 целочисленное решение, тогда решаем 2 системки, 1. X1>X2, => X1-1<X2 и 2. X2>X1 => X2-1<X1, решая их получаем 1. a>0,5, a<1,5       2. a>-0,5, a<0,5  
Системки были в совокупности, => a принадлежит
(-0,5;1,5)/{0,5}

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 14 фев. 2007 14:22 | IP
undeddy



Долгожитель

Ваше решение неверно. Возьмите, например, a=0. У меня решением вышло:

a E (0; 1/3] U [2/3; 1)

Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 14 фев. 2007 16:55 | IP
Wave


Удален

интересно было бы увидеть решение, возьмите например
а = -0,5, тогда решение - промежуток [-1,75;-1] => подходит условию. Как я понял, необходимо чтобы разность корней была меньше 2 но больше 1, однако у меня почему то вразумительного ничего не получилось...

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 14 фев. 2007 20:13 | IP
undeddy



Долгожитель

Вы ошиблись. При a = -0.5 решением неравенств будет являться промежуток [-3.5; -0.5], что не подходит. Я решал бы все-таки графически (или хотя бы на числовой оси для наглядности). После упрощения исходного неравенства я получил:  (2x+1)(x+2-3a) <=0 . Отсюда видно, что ЛЮбОЙ промежуток, являющийся решением являет собой один из концов число -0.5. Дальше уже накладываем условия на a....

Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 14 фев. 2007 20:54 | IP
MEHT



Долгожитель

Wave, у Вас ошибочно найдены корни...

Цитата: undeddy написал 14 фев. 2007 16:55
У меня решением вышло:
a E (0; 1/3] U [2/3; 1)


undeddy, а как Вы исключили интервал (1/3 ; 2/3) ?

Приведу такое решение.

Имеем неравенство

2x^2 - (6a-5)x <= 3a - 2,

или перенося все в левую часть

2x^2 - (6a-5)x - (3a - 2) <= 0.

Находим корни квадратного трехчлена:
дискриминант есть
D=(6a-5)^2 + 8*(3a - 2) = 9*(2a-1)^2,
следовательно,

(x1,2) = [(6*a-5) +- 3 * |2*a-1|] /4.

Теперь рассмотрим 2 случая: когда
(2*a-1) >= 0 и когда
(2*a-1) <  0.

1) Пусть (2*a-1) >= 0 или, что то же самое, a >= 0,5.
Тогда

x1 = 3*a - 2,
x2 = -0,5.

Для x имеем

x2 <= x <= x1, или

-0,5 <= x <= 3*a - 2.


2) Пусть (2*a-1) < 0 или, что то же самое, a < 0,5.
Тогда

x1 = -0,5,
x2 = 3*a - 2.

Для x имеем

x2 <= x <= x1, или

3*a - 2 <= x <= -0,5.

Таким образом, решение параметрического неравенства можно записать в общем виде:

-0,5 <= x <= 3*a - 2, если a >= 0,5;
3*a - 2 <= x <= -0,5, если a <  0,5.


По условию задачи среди решений исходного неравенства должно присутствовать единственное целое число. В случае
a >= 0,5
этим единтвенным целым числом может быть только x=0,
в случае же
a <  0,5,
этим единтвенным целым числом будет только x=-1.

Следовательно можем записать
-0,5 <= x <= 3*a - 2 < 1, если a >= 0,5,
-2 < 3*a - 2 <= x <= -0,5, если a <  0,5,

откуда из первого получаем
0,5 <= a < 1,

из второго соответственно
0 < a < 0,5.

Объединяя полученные результаты, записываем решение
0 < a < 1.

(Сообщение отредактировал MEHT 14 фев. 2007 23:59)

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 14 фев. 2007 23:46 | IP
undeddy



Долгожитель

2MENT

Возьмите, к примеру, значение a = 4/9 -> в ответе (промежутке) не будет ни одного целого числа. И a = 0.5 тоже не подходит...

Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 15 фев. 2007 5:41 | IP
MEHT



Долгожитель


Цитата: undeddy написал 15 фев. 2007 5:41
2MENT

Возьмите, к примеру, значение a = 4/9 -> в ответе (промежутке) не будет ни одного целого числа. И a = 0.5 тоже не подходит...



Благодарю за ответ. Да, действительно, ввел в заблуждение. Вместо


Цитата: MEHT написал 14 фев. 2007 23:46

...
Следовательно можем записать
-0,5 <= x <= 3*a - 2 < 1, если a >= 0,5,
-2 < 3*a - 2 <= x <= -0,5, если a <  0,5,
...


следует еще ограничить неравенства как
-0,5 <= x <= 0 <= 3*a - 2 < 1, если a >= 0,5,
-2 < 3*a - 2 <= -1 <= x <= -0,5, если a <  0,5,

или для параметра a:
0 <= 3*a - 2 < 1, если a >= 0,5,
-2 < 3*a - 2 <= -1, если a <  0,5,

что эквивалентно

2/3 <= a < 1,
0 <= a < 1/3,

что полностью совпадает с Вашим решением.

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 15 фев. 2007 6:06 | IP
undeddy



Долгожитель

В таких задачах легко ошибиться: нужно внимательно следить за всеми условиями. В этом-то и состоит основная их сложность, на мой взгляд, помимо логических трудностей.

Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 15 фев. 2007 6:39 | IP

Отправка ответа:
Имя пользователя   Вы зарегистрировались?
Пароль   Забыли пароль?
Сообщение

Использование HTML запрещено

Использование IkonCode разрешено

Смайлики разрешены

Опции отправки

Добавить подпись?
Получать ответы по e-mail?
Разрешить смайлики в этом сообщении?
Просмотреть сообщение перед отправкой? Да   Нет
 

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Одна страница

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com