Guest
Новичок
|
    
Есть такая задача:
Представить a/b - b/a на два множителя, сумма которых равна a/b + b/a. Доказать единственность этого разложения.
На множители я разложил: (a+b)/a * (a-b)/b. Но как доказать единственность этого разложения?
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 11 фев. 2007 18:53 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Пусть искомые множители есть x1 и x2.
Тогда по условию имеем 2 уравнения:
a/b - b/a = x1 * x2,
a/b + b/a = x1 + x2.
Выражая из 2-го уравнения x2 и подставляя в 1-е получаем квадратное уравнение для x1, решая которое получаем
x1 = {(a^2 +b^2) +- sqrt[(a^2 + b^2)^2 - 4*a*b*(a^2 - b^2)]}/(2*a*b).
Выражение, стоящее под знаком радикала можно преобразовать следующим образом:
(a^2 + b^2)^2 - 4*a*b*(a^2 - b^2) =
= (a^2 - b^2)^2 - 4*a*b*(a^2 - b^2) + (2*a*b)^2 =
= [(a^2 - b^2) - 2*a*b]^2.
Тогда для x1 имеем
x1 = [(a^2 +b^2) +- |a^2 - b^2 - 2*a*b|]/(2*a*b),
к тому же знак модуля можно опустить, вследствие того, что выборе знака "+" или "-" произволен.
Получаем 2 возможных значения x1
x1 = (a - b)/b, или
x1 = (a + b)/a;
соответствующие x2 находятся из 2-го из вышенаписанных уравнений, и равны
x2 = (a + b)/b, или
x2 = (a - b)/a.
Оба полученных решения тождественны: исходя из симметрии самой задачи видно, что x1 и x2 входят в оба уравнения равноправно, а следовательно и полученное решение задачи единственно.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 11 фев. 2007 22:10 | IP
|
|
|
Форум
Единственность разложения на множители
