MEHT
Долгожитель
|
    
Цитата: nekto написал 30 окт. 2007 18:04
А как с обратной задачей, типа:
Определить время раскрутки маховика от нуля до угловой скорости 30 рад/с, если момент силы, действующий на раскручивающийся маховик, пропорционален корню квадратному от его угловой скорости?
Эту задачу можно решить по аналогии с предыдущей. Предыдущее дифференциальное уравнение переписывается с заменой коэффициента пропорциональности k на (-k) (коэффициент предполагается положительным), т.к. в отличие от условия первой задачи, в данном случае угловое ускорение (фи с двумя точками) полагаем положительным.
Далее, решение диф. ур. строится по аналогии.
Константы C1 и C2 находятся уже из других начальных условий:
фи и фи с точкой в нуле равны нулю.
Отсюда вторая константа C2 обнуляется и решение получается из второго интеграла. Для этого нужно положить в нём фи с точкой равным 30. В этом случае решение будет зависеть от коэффициента пропорциональности k:
t=2*sqrt(30)/k.
Для численного решения его нужно либо задать, либо дополнить условие задачи данными для его нахождения.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 1 нояб. 2007 19:02 | IP
|
|
nekto
Новичок
|
Наверное я наивный человек, но "меня терзают смутные сомнения", что нулевая начальная скорость с неизбежным нулевым начальным моментом будут очень долго оставаться такими, не вижу как ноль сам превратится в "не ноль".
|
Всего сообщений: 21 | Присоединился: сентябрь 2007 | Отправлено: 1 нояб. 2007 22:19 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Нет, они вовсе не обязаны оставаться нулевыми. Во-первых момент. Нет никаких оснований утверждать что он всё время будет оставаться постоянным. В условии лишь сказано, что он пропорционален угловой скорости w(t). Во-вторых сама угловая скорость. Разложив её в степенной ряд около t=0 по малому (но конечному) значению t0, получаем
w(t0) = w(0) + w'(0)*t0 + (w''(0)/2)*(t0^2) + (w'''(0)/6)*(t0^3) + ..., но
w(0)=0, w'(0)=0, откуда
w(t0) = (w''(0)/2)*(t0^2) + (w'''(0)/6)*(t0^3) + ... .
Согласно этому разложению, нельзя утверждать, что скорость w(t) обнулится в момент t=t0, покуда из условия задачи никак не следует, что вторая производная от угловой скорости (а также, быть может, и все последующие производные) в нулевой момент времени обратятся в нуль.
Более того, непосредственно выписав сам закон движения, можно показать, что w''(0) вообще не зависит от времени. Именно,
фи(t) = (1/12)*(k^2)*(t^3), откуда, дифференцированием по времени, получаем
фи'(t) = w(t) = (1/4)*(k^2)*(t^2),
w'(t) = (t/2)*(k^2),
w''(t) = (1/2)*(k^2),
т.е. вторая производная от угловой скорости не зависит от времени и при ненулевом коэффициенте пропопорциональности k не обращается в нуль.
Поэтому можно сказать, что скорость изменения момента (а также, быть может, и все последующие производные момента) в точке t=0 будет сказываться на увеличение скорости в последующий момент времени.
Или, проще говоря, скорость изменения момента (а также, быть может, скорость изменения скорости момента и т.д.) в t=0 и превращает "ноль" в "не ноль" 
Сам же момент в последующий момент времени будет также отличен от нуля и, как и должно быть по условию, будет пропорционален квадратному корню из угловой скорости в полном согласии с условием задачи.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 2 нояб. 2007 18:02 | IP
|
|
nekto
Новичок
|
Могу согласиться, что ряд производных вращающего момента неограничен. Но и только. Причем все члены ряда будут дробностепенными функциями угловой скорости - так по условию задачи. Поскольку маховик раскручивается от момента покоя - нулевой начальной угловой скорости, то и все члены этого неограниченного ряда в этот начальный момент будут тоже нулевыми. То есть, в данном случае мы имеем некую абстрактную систему в состоянии неустойчивого равновесия, но как бы абсолютно изолированную и с полным отсутствием внутреннего "импульса". Система может быть запущена только "внешним импульсом", какой угодно малости. Понятно, это не физическая система. Здесь может быть интересна только вот эта "несимметричность" относительно торможения, заключающаяся в ведении "божественной первопричины" в виде внешнего бесконечно малого пускового импульса. Он и будет определять момент начала того самого Вами просчитываемого "времени" торможения-раскрутки. Лучше таких "задач" избегать - модель, но не физика.
(Сообщение отредактировал nekto 2 нояб. 2007 19:51)
(Сообщение отредактировал nekto 2 нояб. 2007 19:57)
|
Всего сообщений: 21 | Присоединился: сентябрь 2007 | Отправлено: 2 нояб. 2007 19:50 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Вы слишком усложняете. Зачем вводить некий внешний бесконечно малый "импульс", запускающий систему, если приложенный момент уже сам по себе является "внешним"? Именно он и раскручивает (либо тормозит) систему. Ведь "запущенная" каким-либо образом система, в дальнейшем предоставленная "самой себе", не будет двигатся так, чтобы её момент был пропорционален корню из угловой скорости.
Этот "внешний" раскручивающий (либо тормозящий) момент сил, как функция времени, и будет той "божественной причиной", реализующей вышеописанное движение. ("Божественной" в том понимании, что в рамках задачи мы не интересуемся причинами происхождения этого приложенного момента.)
Да и сама задача вполне физична. Ничего не мешает на практике раскручивать (либо тормозить) систему по вышеописанному закону, прикладывая к ней линейно зависящий от времени момент сил.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 4 нояб. 2007 2:16 | IP
|
|
|
Форум
Трудная задача
