Ответы на задачи по механике

Ответы из раздела механика

1.1. v = 3,0 км/ч
1.2. <v> = 2v₀(v₁+v₂)/(2v₀+v₁+v₂)
1.3. Δt = 15 с
1.4. а) 10 см/с; б) 25 см/с; в) t₀ = 16 с; г) 2,5 и 0,7 см/с²
1.5. (r₁-r2)/|r₁-r2| = (v₂-v1)/|v₂-v1|
1.6. v' ≈ 40 км/ч, φ = 19°
1.7. u = 3,0 км/ч
1.8. τ_A/τ_B = 1,8
1.9. υ = 120°
1.10. l = 22 м
1.11. l = 2,5 м
1.12. t = 2a/3v
1.14. x₁-x₂ = 0,24 км. Навстречу поезду со скоростью V = 4,0 м/с
1.15. а) 0,7 с; б) соответственно 0,7 и 1,3 м
1.16. t_m = (v₁l₁+v₂l₂)/(v₁²+v₂²), l_мин = |l₁v₂-l₂v₁|/sqrt(v₁²+v₂²)
1.17. CD = l/sqrt(η²-1)
1.19. а) <v> = 50 см/с; б) |<v>| = 32 см/с; в) |<w>| = 10 см/с²
1.20. а) v = a(1-2αt), w = -2αa = const; б) Δt = 1/α, s = a/2α
1.21. а) x = v₀t(1-t/2τ); б) 1,1, 9 и 11 с; в) 24 см и 34 см
1.22. а) v = α²t/2, ω = α²/2; б) <v> = α*sqrt(S)/2
1.23. а) s = (2/3a)v_o^3/2; б) t = 2sqrt(v_o)/a
1.24. а) y = -x²b/a²; б) v = ai-2btj, w = -2bj, v = sqrt(a²+4b²t²), ω = 2b; в) tg α = a/2bt; г) <v> = ai-btj, |<v>| = sqrt(a²+b²t²)
1.25. а) y = x-x²α/a; б) v = a sqrt(1+(1-2αt)²), ω = 2αa = const; в) t₀ = 1/α
1.26. а) s = aωτ; б) π/2
1.27. v₀ = sqrt((1+a²)ω/2b)
1.29. а) τ = 2(v₀/g) sin α; б) h = (v₀²/2g) sin²α, l = (v₀²/g) sin 2α, α = 76°
1.31. l = 8h sin α
1.32. Через 0,41 или 0,71 мин в зависимости от начального угла
1.33. Δt = 11 с
1.34. а) x = (a/2v₀)y²; б) ω = av₀, ω_τ = a²y/sqrt(1+(ay/v₀)²), ω_n = av₀/sqrt(1+(ay/v₀)²)
1.35. а) y = (b/2a)x²; б) R = (a/b)(1+(xb/a)²)^3/2
1.36. v = sqrt(2ax)
1.37. ω = 0,8 м/с²
1.38. а) v = v_o/(1+v_ot/R) = v_oe^-s/R; б) ω = sqrt(2)v_o²/Re^2s/R = sqrt(2)v²/R
1.39. tg α = 2S/R
1.40. а) ω_o = 2,6 м/с², ω_|a| = 3,2 м/с²; б) ω_мин = 2,5 м/с², l_m = ±0,37 м
1.41. R = a³/2bs, ω = a*sqrt(1+(4bs²/a³)²)
1.42. а) ω = 2av², R = 1/2a; б) ω = bv²/a², R = a²/b
1.43. v = 0,40 м/с, ω = 0,32 м/с²
1.44. ω = 0,7 м/с²
1.45. ω = 2,0*10³ рад/с
1.46. а) <ω> = 4 рад/с, <β> = 6 рад/с²; б) β = 12 рад/с²
1.47. t = 7 с
1.48. <ω> = ω_o/3
1.49. а) φ = (1-e^-at)ω₀/a; б) ω = ω₀e^-at
1.50. ω_z = ±sqrt(2β_o sin φ), см. рисунок
1.51. а) y = v²/βx (гипербола); б) y = sqrt(2ωx)/ω (парабола)
1.52. а) ω_A = 2,0 м/с², вертор ω_A направлен все время к центру колеса; б) s = 4,0 м
1.53. а) v_A = 10 см/с, v_B = 7 см/с, v_O = 0; б) ω_A = 5,6 см/с², ω_B = 2,5 см/с², ω_O = 2,5 см/с²
1.54. R_A = 4r, R_B = 2 sqrt(2) r
1.56. а) ω = 8 рад/с, β = 1,3 рад/с²; б) 17^o
1.57. а) ω = 2,8 рад/с; б) β = 2,3 рад/с²
1.58. ω = 0,6 рад/с, β = 0,2 рад/с²
1.59. Δm = 2mω/(g+ω)
1.60. w = g(m₀-k(m₁+m₂))/(m₀+m₁+m₂), T = (1+k)m₀m₂g/(m₀+m₁+m₂)
1.61. а) F = (k₁-k₁)m₁m₂g cos α/(m₁+m₂); б) tg α_мин = (k₁m₁+k₂m₂)/(m₁+m₂)
1.62. k = 0,16
1.63. а) m₂/m₁ > sin α + k cos α; б) m/m₁ < sin α - k cos α; в) sin α - k cos α < m₂/m₁ < sin α + k cos α
1.64. w₂ = 0,05g
1.65. ω₁ = kgm₂/m₁, ω₂ = (at-km₂g)/m₂
1.66. tg 2α = -1/k, α = 49°; t_мин = 1,0 с
1.67. tg β = k; T_мин = mg(sin α + k cos α)/sqrt(1+k²)
1.68. а) v = (mg² cosα)/(2a sin²&alpha); б) s = (m²g³ cosα)/(6a² sin³α)
1.69. v = sqrt((2g/3a)sin α)
1.70. τ = sqrt(2l/(3ω+kg))
1.71. а) w₁ = ((m₁-m₂)g+2m₂w₀)/(m₁+m₂), w₁' = (m₁-m₂)(g-w₀)/(m₁+m₂); б) F = 4m₁m₂(g-w₀)/(m₁+m₂)
1.72. w = 2g(2η-sin α)/(4η+1)
1.73. w₁ = (4m₁m₂+m₀(m₁-m₂))g/(4m₁m₂+m₀(m₁+m₂))
1.76. H = 0,6 м
1.77. ω_A = g/(1+η ctg²α), ω_B = g/(tg α + η ctg α)
1.79. ω_мин = g(1-k)/(1+k)
1.80. ω_макс = g(1+k ctg α)/(ctg &alpha - k)
1.81. w = g sin α cos α /(sin²α + m₁/m₂)
1.84. 2,1, 0,7 и 1,5 кН
1.85. ω = g*sqrt(1+3cos²υ), T = 3mg cos υ; б) T = mg*sqrt(3); в) υ = 54,7^o
1.86. ≈ 53°
1.87. ν ≈ 48°, v = sqrt(2gR/3)
1.88. ε = 1/(χ/mω²-1). От направления вращения не зависит
1.89. r = R/2, v_макс = 1/2*sqrt(kgR)
1.90. s = 60 м
1.92. T = (ctg υ+ω²R/g) mg/2
1.95. F = -mω²r, где r - радиус-вектор частицы относительно начала координат; F = mω²sqrt(x²+y²)
1.96. а) Δp = mgt; б) |Δp| = -2m(v₀g)/g
1.97. а) p = aτ³/6; б) s = aτ⁴/12m
1.98. S = (ωt-sin ωt)F₀/mω²
1.99. t = π/ω; s = 2F₀/mω²; v_макс = F₀/mω
1.100. а) v = v₀e^-tr/m; б) v = v₀-sr/m, s_полн = mv₀/r; в) <v> = v = v₀(η-1)/(η ln η)
1.101. t = h(v₀-v)/(v₀v ln(v₀/v))
1.102. s = 2/a tgα, v_макс = sqrt(g/a sinα tgα)
1.103. s = 1/6 a(t-t₀)³/m, где t₀ = kmg/a - момент времени, с которого начинается движение. При t <= t₀ путь s = 0
1.108. а) v = sqrt(2gR/3); б) υ₀ ≈ 17°
1.106. v = v_o/(1+cos φ)
1.109. r_уст = (mv²/a)^1/(1-n)
1.111. h = 7 см
1.112. F = 8 H
1.113. F_кор = 2,8 Н
1.115. F_цб = 8 Н, F_кор = 17 Н
1.117. Отклонится на восток на расстояние x = 24 см
1.118. A = -17 Дж
1.119. A = ma⁴t²/8
1.120. F = 2as*sqrt(1+(s/R)²)
1.121. A = mg(h+kl)
1.123. F_мин = (m₁+m₂/2)kg
1.124. A = -1,3 Дж
1.125. <P> = 0, P = mg(gt-v₀ sin α)
1.126. P = mRat, <P> = mRat/2
1.130. A = 3mg/4a, ΔU = mg/2a
1.131. а) r_o = 2a/b, устойчиво; б) F_макс = b³/27a²
1.133. Потенциальным является второе поле сил
1.135. h = H/2; S_макс = H
1.136. v = 2/3*sqrt(gh/3)
1.141. A = 0,09 Дж
1.142. A = χl₀²η(1+η)/2(1-η)², где η = mω²/χ
1.143. w_c = g(m₁-m₂)²/(m₁+m₂)²
1.145. r = 0,8 см, T = 5 Н
1.147. а) V = (m₁v₁+m₂v₂)/(m₁+m₂); б) T = m₁m₂/(m₁+m₂)*(v₁-v₂)²/2
1.149. E = μ(v₁²+v₂²)/2, где μ = m₁m₂/(m₁+m₂)
1.151. v_C = x*sqrt(χm₂)/(m₁+m₂)
1.153. а) Δl > 3mg/χ; б) h = 8mg/χ
1.155. v_задн = v₀-mu/(M+m), v_пер = v₀+mMu/(M+m)²
1.156. 1) v₁ = -2mu/(M+2m); 2) v₂ = -mu(2M+3m)/((M+m)(M+2m))
1.157. p = 3,5 кг*м/с
1.161. τ = (p cos α-M*sqrt(2gl sin α))/Mg sin α
1.162. а) v = (2M/m) sqrt(gl) sin (υ/2); б) ν ≈ 1 - m/M
1.163. h = Mv²/2g(M+m)
1.164. 1) A = -μgh, где μ = mM/(m+M); 2) Да
1.166. v = 1,0i+2,0j-4,0k, v ≈ 4,6 м/с
1.167. ΔT = -μ(v₁-v₂)²/2, где μ = m₁m₂/(m₁+m₂)
1.168. а) η = 2m₁/(m₁+m₂); б) η = 4m₁m₂/(m₁+m₂)²
1.169. а) m₁/m₂ = 1/3; б) m₁/m₂ = 2,0
1.170. η = 0,25
1.171. v_макс = 1,0 км/с
1.172. Будет двигаться в ту же сторону, но со скоростью v' = (1-sqrt(1-2η))v/2
1.173. ΔT/T = -40%
1.174. а) ρ = μ*sqrt(v₁²+v₂²); б) T = 1/2μ(v₁²+v₂²). Здесь μ = m₁m₂/(m₁+m₂)
1.175. sin υ_макс = m₂/m₁
1.179. v = -u ln(m₀/m)
1.180. m = m_oe^-ωt/u
1.181. α = (u/v_o)ln(m_o/m)
1.182. v = F/μ ln(m₀/(m₀-μt)), w = F/(m₀-μt)
1.184. v = sqrt(2gh ln(l/h))
1.186. M = 1/2mgv₀t² cos α
1.187. а) Относительно всех точек прямой, перпендикулярной к стенке и проходящей через точку 0; б) |ΔM| = 2mvl cos α
1.188. Относительно центра окружности. |ΔM| = 2*sqrt(1-(g/ω²l)²)mgl/ω
1.189. |ΔM| = hmV
1.190. M = mωv₀²t²
1.191. m = 2kr₁²/v₂²
1.192. v₀ = sqrt(2gl/cos υ)
1.193. F = mω_o²r_o⁴/r³
1.195. M = Rmgt sin α. Не изменится
1.198. M = 1/3lmv_o
1.200. T = 225 суток
1.201. а) В 5,2 раза; б) 13 км/с, 2,2*10^-4 м/с²
1.202. T = π sqrt((r+R)³/2γM)
1.205. l = (γM(T/2π)²)^1/3
1.208. E = -γmm_C/2a, где m_C - масса Солнца
1.216. Около 1,8*10⁶ атм
1.221. h = R/(2gR/v₀²-1)
1.224. M = 6*10²⁴ кг
1.234. l = 1,0 м
1.236. l = |aA-bB| sqrt(A²+B²)
1.240. I = 1/4 mR²
1.241. I = 0,15 кг*м²
1.243. а) ω = gt/R(1+M/2m); б) T = mg²t²/2(1+M/2m)
1.246. β = (|m₂-m₁|g)/((m₁+m₂+m/2)R), T₁/T₂ = (m₁(m+4m₂))/(m₂(m+4m₁))
1.248. n = (1+k²)ω₀²R/8πk(k+1)g
1.249. t = 3/4 ωR/kg
1.250. <ω> = ω_o/3
1.252. а) k ≥ 2/7 tg α; б) T = 5/14mg²t²sin²α
1.253. а) T = 13 H, β = 5*10² рад/с²; б) P = 2/3mg²t
1.258. T = 1/10 mg
1.259. w = 3g(M+3m)/(M+9m+I/R²)
1.261. ω₁ = F/(m₁+2/7 m₂); ω₂ = 2/7 ω₁
1.264. v₀ = 1,0 м/с
1.272. v' = ω₀l/sqrt(1+3m/M)
1.273. F = 9 Н
1.274. а) v' = (3m-4M)v/(3m+4M); б) F = 8Mv²/(l(1+4M/3m)²)
1.275. а) v = (M/m)sqrt(2/3 gl)sin(α/2); б) Δp = M sqrt(1/6 gl)sin(α/2); в) x ≈ 2/3 l
1.276. а) ω = (1+2m/M)ω₀; б) A = 1/2 mω₀²R²(1+2m/M)
1.279. v' = v(4-η)/(4+η); ω = 12v/l(4+η). При η = 4 и η > 4
1.280. а) A_90° = 1/2 I₀²ω₀²/(I+I₀), A_180° = 2I₀²ω₀²/I; б) N = I₀²ω₀²/(I+I₀)
1.283. а) ω' = 0,7 рад/с; б) F = 10 мН
1.286. F' = 0,30 кН
1.288. N = 6 кН*м
1.290. p = 2,2*10³ атм
1.291. а) p = 20 атм; б) p = 40 атм
1.293. n = 23 об/с
1.294. x = 2,5 см
1.295. ε = 1/2 F₀/ES
1.296. T = 1/2 mω²l(1-r²/l²), Δl = 1/3 ρω²l³/E, где ρ - плотность меди
1.313. u = 1/2 Gφ²r²/l²
1.314. u = 23,5 кДж/м³
1.319. h = 25 см; l_макс = 50 см
1.328. N = 0,7 Н*м
1.334. а) Q = 1/2 πv₀R²; б) T = 1/6 πlR²ρv₀²; в) F_тр = 4πηlv₀; г) Δp = 4ηlv₀/R²
1.338. d = 5 мм
1.339. t = 0,20 с
1.340. v = 0,1c, где c - скорость света
1.342. l₀ = 1,08 м
1.346. s = 5 м
1.347. а) Δt₀ = 1,4 мкс; б) l' = 0,42 км
1.348. l₀ = 17 м
1.349. l₀ = 6,0 м, v = 2,2*10⁸ м/с
1.351. Частица, двигавшаяся впереди, распалась позже на время Δt = 20 мкс
1.353. а) t(B) = l₀/v, t(B') = (l₀/v)*sqrt(1-(v/c)²); б) t(A) = (l₀/v)*sqrt(1-(v/c)²), t(A') = l₀/v
1.356. Для этого необходимо убедиться в том, что Δt = t₂-t₁ > 0 и Δt' = t'₂-t'₁ > 0
1.357. а) 13 нс; б) 4,0 м
1.359. а) v = 1,25c; б) v = 0,91c
1.361. а) v = sqrt(v₁²+v₂²); б) v = sqrt(v₁²+v₂²-(v₁v₂/c)²)
1.363. tg υ' = (sqrt(1-β²) sin υ)/(cos υ - V/v), где β = V/c
1.364. tg υ = v'V/c² sqrt(1-(V/c)²)
1.365. а) ω' = ω(1-β²)^3/2/(1-βv/c)³; б) ω' = ω(1-β²). Здесь β = V/c
1.369. v = 0,6c, где c - скорость света
1.370. (c-v)/c = 0,44%
1.376. F = (I/ec)sqrt(T(T+2m₀c²)), P = TI/e
1.385. M₀ = sqrt(2m₀(T+2m₀c²))/c, V = c sqrt(T/(T+2m₀c²))
1.386. T' = 1,43*10³ ГэВ